行列式

D与 D均有 n!项 , ∴ D与 D是相同项 (符号也相同 )的代数和 . 即 D=D.  1212, , . . . , nk k n ka a a12( ... )( 1) nk k k167。 n 阶行列式 命题 交换一个行列式的两行 (或两列 ), 这个行列式的符号要改变 . 证 : 给定行列式 : 11 12 1 11 12 11 2 1 2,11 2 1 21 2 1

8( 1 ) 2 A 3 B 2 38 4 1 0 4 1 2 6            4224 6 211 33( 2 ) X ( B A ) .4 1 6 1 6 4 1 6 1 6333 3 3     2 4 6A,8 4 1 0 6 2 8B.4 1 2 6(1 )

，使得行列式变成下面的形式：位于主对 角线 一侧的所有元素全等于 0，这样得到的行列式的值等于主对角线元素的乘积，对于次对角线的情形，行列式的值等于（ 1） 1/2n(n1)与次对角线上所有元素的乘积。 化三角法一般只适用于一些有规律的、 可以通过简单的初等行列变换变成三角形行列式， 或 者变成爪型行列式、主次对角行列式、平行线形行列式、等的行列式。 但对于其它的一些行列式就不是很适合应用。 例

Dn n n n m n m n mn n n c c cnn            2 21 22 21 2 1 2,1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0rrr r rr r r rrn c c cn n n c c c 然后再依次按 1r 行， 2r 行 ,… ,21r 行展开，则有

 ． 再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开，则可得到        1 1 1 2 2 2 21 1 1nnn n n n nD a a a a a a            ． 行列式的计算方法研究 7 递（逆）推公式法 递推法是根据行列式的构造特点，建立起 nD 与 1nD 的递推关系式，逐步推下去，从而求出 nD 的值。

. .. . .. ....( ) ( , .. . , )........ . .. . .. . .. . .. ....nk k k knn k k k knk k k knn n n nnx x x xx x x xf x V x x x xx x x xx x x xx x x x       = 2 1 3 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )nx x x x

应的结果求值 例 7 计算行列式 21n221n2211n1222212121 111111 nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxD. 解： 把第 1 行的－ 1 倍加到第 2 行，把新的第 2行的－ 1 倍加到第 3 行，以此推直到把新的第 1n 行的 1倍加到第 n 行，便得范德蒙 13 行列式 122 2 21211 1 1121 1

12... nkpp p表示对所有（ nk ）阶排列求和。 证：（ i）在行列式 [ 1] 1, 2( ... )knV x x x 中增补第（ 1k ）行和（ 1n ）列相应的元素考虑（ 1n ）阶 Vandermonde 行列式 121 1 1 11212121 1 1 112121 1 ... 1 1...... ... ... ... ......( ) ( , ... ,