数学-浅析vandermonde行列式的相关性质及其应用(编辑修改稿)

数学-浅析vandermonde行列式的相关性质及其应用(编辑修改稿)内容摘要：

12... nkpp p表示对所有（ nk ）阶排列求和。 证：（ i）在行列式 [ 1] 1, 2( ... )knV x x x 中增补第（ 1k ）行和（ 1n ）列相应的元素考虑（ 1n ）阶 Vandermonde 行列式 121 1 1 11212121 1 1 112121 1 ... 1 1...... ... ... ... ......( ) ( , ... , )......... ... ... ... ......nk k k knn k k k knk k k knn n n nnx x x xx x x xf x V x x x xx x x xx x x xx x x x       = 2 1 3 1 1 1( ) ( ) ...( ) ( )nx x x x x x x x     3 2 2 2( ) ...( ) ( )nx x x x x x    … … … … ()nxx =12 1( ) ( ) . . . ( ) ( )n i jj i nx x x x x x x x       (*) (ii)由 (*)式的两端分别计算多项式 kx 中项的系数，在 (*)左端，由行列式计算： kx 的系数为行列式中该元素对应的代数余子式 [ 1]( 1)kn kV  ，在 (*)式右端，由多项式计算 12, ... nx x x 为 ( ) 0fx 的 n 个不同根。 根据根与系数的关系， kx项的系数为 1212, . . . 1( 1 ) . . . ( x x ) ( 0 , 1 , 2 . . . 1 )nknknkn k p p p i jp p p j i na x x x k n         ， 其中 12, ... nkp p p  是 1， 2… n 中（ nk ）个数的一个正序排列，12, ... nkp p p表示对所有（ nk ）阶排列求和。 （ iii）比较 )(xf 中 kx 项的系数，计算行列式 ]1[kV ，因为 (*)式左右两端 kx 项系数应该相等，所以 1212[ 1 ] , . . . 1( 1 ) ( 1 ) . . . ( x x )nknkk n n kk p p p i jp p p j i nV x x x           即 1212[ 1 ] , . . . 1. . . ( x x )nknkk p p p i jp p p j i nV x x x      （ **） 1212[ 1 ] , . . .( 1 ) . . . ( 0 , 1 , 2 . . . 1 )nknknkk p p pp p pV x x x V k n       定理得证。 利用此性质定理 可以计算各阶准 Vandermonde 行列式，简便易行。 特别，当kn 时，令 0p =1，（ **）式即为 Vandermonde 行列式 V。 例 4 计算准 Vandermonde 行列式 1 2 3 4 5 62 2 2 2 2 21 2 3 4 5 6[ 4 ] 4 4 4 4 4 41 2 3 4 5 65 5 5 5 5 51 2 3 4 5 66 6 6 6 6 61 2 3 4 5 61 1 1 1 1 1a a a a a aa a a a a aVa a a a a aa a a a a aa a a a a a 解 由定理， n =6,k =3,所以 1 2 31 2 3[ 4 ] 16 ()p p p i jp p p jiV a a a a a     = 1 2 3 1 2 4 4 5 6 16( . . . ) ( )ijjia a a a a a a a a a a      . 一个 Vandermonde行列式为 0 的充分必要条件是 12, , , nx x x 中至少有两个相等 . Vandermonde 行列式的偏导数 ]8[ . 定理 12 1( , , , ) ( )n i jj i nF x x x x x  ， 由 Vandermonde 行列式的定义知， 12( , , )nF x x x 是 12, , , nx x x 的 n 元函数 . 例 5 设 12, , , na a a 是 n 个两两互异的数，证明对任意 n 个数 12, , , nb b b ，存在唯一的次数小于 n 的多项式 1()n jii ji ijxaL x b aa   ， 使得 ()iiLa b ， 1 in . 证 从定义容易看出 ()Lx 的次数小于 n ，且 ()iiLa b ， 故只需证明唯一性即可 . 设 210 1 2 1() nnf x c c x c x c x     满足 ()iif a b ， 1 in ，即 210 1 1 1 2 1 1 1210 2 1 2 2 2 1 2210 1 2 1nnnnnn n n n nc a c a c a c bc a c a c a c bc a c a c a c b               ， 这个关于 0 1 1, , , nc c c  的线性方程组系数行列式为 211 1 1212 2 221111nnnn n na a aa a aa a a1 ( ) 0ijj i n aa    ， 故 0 1 1, , , nc c c  是唯一的，必须 ( ) ( )f x L x . 这就是有名的拉格朗日插值公式。 例 6 设 12( ), ( ), , ( )nf x f x f x是 1n 个复系数多项式，满足 121 2 11 ( ) ( ) ( )n n n n nnx x f x x f x x f x      . 证明： 1 2 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 0nf f f   . 证：设 21 2 1( ) ( ) ( )n n n nnf x x f x x f x    1( ) ( 1 )p x x x   ，取22c o s sinwinn，分别以 21, , , nx w w w  代入，可得 21 2 12 2 ( 2 )1 2 11 ( 1 ) ( 2 )1 2 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 0(。