n阶行列式的计算方法探索毕业论文(编辑修改稿)

n阶行列式的计算方法探索毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

，使得行列式变成下面的形式：位于主对 角线 一侧的所有元素全等于 0，这样得到的行列式的值等于主对角线元素的乘积，对于次对角线的情形，行列式的值等于（ 1） 1/2n(n1)与次对角线上所有元素的乘积。 化三角法一般只适用于一些有规律的、 可以通过简单的初等行列变换变成三角形行列式， 或 者变成爪型行列式、主次对角行列式、平行线形行列式、等的行列式。 但对于其它的一些行列式就不是很适合应用。 例 3 计算行列式 Dn=xyyyyyyyxyyyyy. ... ... ... ... ... ... ... ... ..x 解 ： Dn=xyyyynxyyyxynxyyyyynx...1.....................1...1）（）（）（=（ x+(n1)y）xyyyyyyxyyyy. ..1. ... ... ... ... ... ... ..1. ..1 =（ x+(n 1)y）yxyxyyyy...0000..................0...000...1 =[x+(n 1)y](x y)n 1 行列式按一行（列）展开 这种按行列式某行或某列展开的计算方法是运用行列式自身所带有的工具 余子式、代数余子式。 下面先介绍余子式和代数余子式的定义： 余子式 ： 在 n 阶行列式中，将元素 aij所在的第 i 行第 j列的元素划去后剩下的元素按 ５ 照位置次序构成的 n1 阶行列式，称为元素 aij的余子式，记为 Mij， 代数余子式： 当 Aij=（ 1） i+jMij，称 Aij为元素 Aij的代数余子式。 在了解了余子式和代数余子式之后，再补充一条关于行列式的值的定理， 定理： 行列式的值等于它的某一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。 因此，我们可以把一个 n 阶行列式的计算置换成 n 个（ n1）阶行列式来计算，这种方法通常应用在一般是行列式某一行或某一列含有较多的零时。 例 4 计算5 3 1 2 01 7 2 5 20 2 3 1 00 4 1 4 00 2 3 5 0 解 :原式 = 660 270132105324141325253204140132021352)1( 52     66 27210   1080124220  注：由行列式的展开定理，我们可以把有些行列式展开来，展开成若干个低一阶的行列式的代数和，如果有必要的话 ，我们可以继续展开下去，直到方便计算求和，这种方法叫做降阶法。 例 5 计算 n 阶行列式 D=xyyxyxyx0...00...000..................00...000...0 解 : 依第一列展开得 ６ D=xyxyx0. ..000. ... ... ... ... ... ..00. ..000. ..0+( 1)n+1yyxyxy...00...............00...00...0 =xn+( 1)n+1yn 加边法 还有一种常用的行列式计算方法 加边法，也就是升阶法。 有时候 为了方便计算行列式，特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这种计算行列式的方法称为加边法或升阶法。 当然，加边后的行列式必须是保值的，而且要使所得的高一阶行列式容易计算。 这就要求我们在选取所加的行和列要根据需要和原行列式的特点。 加边法适用于某一行（列）只有一个不相同的元素的情况，也可用于其行（列）的元素分别为 n1 个元素的倍数的情况。 加边法的一般做法是： nnnnaaaa...............1111nnnnaaaa...0...............0*...*11111nnnnaaaa...0*..................0**...*1*0...0011111 这里升阶是为了降价，在 *处加上所需要的数，就可以简化行列式的计算，用此法时要注意行列式阶数的变化。 例 6 计算 n（ n≥ 2）阶行列式 Dn=naaaa1...111...............1...1111...1111...111321，其中 a1a2...an 0 解：先将 D n 添上一行一列，变成下面的 n+1 阶行列式： Dn+1=..1...110...............1...1101...1101...11121naaa,显然 Dn+1=Dn 将上式第 1行乘以 1加到第 i行；第 i行乘以 ia1 加到第 1行（ i=2，„， n）； ７ 按第一行展开得 Dn+1=（ 1+n11i ia)a1a2...an 注：找出每行或每列相同的因子是加边法最大的特点，这样升阶之后，我们就可以利用行列式的 性质把绝大部分的元素化为零，然后再化为三角形行列式，这样就达到了简化计算的目的。 当然，有时加边后的行列式的值不一定就等于原行列式的值，不过会与原行列式的值存在一个关系。 例如有原行列式 Dn， Dn 行列式如果直接求值的话，不容易求，加边后的行列式为 Dn+1，很容易求得 Dn+1 的值，两者有比较明确的关系， ADn+BDn+1=C，则可利用这个关系求出行列式 Dn 的值，这种解法也是同样适用于加边法的。 递推法 递推法也是一种常用的行列式计算方法。 递推方法计算行列式是将已知的行列式按行（列）展开成较低阶的同类型的行列式（同类型行列式是指阶数不同，但结构相同的行列式），再找出 Dn与 Dn1或 Dn 与 Dn Dn2（其中 Dn、 Dn Dn2 结构一定要相同）之间的递推关系，然后利用这个递推公式求出行列式的值。 例 7 计算行列式 Dn=baabbabaabbaabbaabba1...0000...0000.....................0010000...1000...0100...00 解 :将 Dn 按第一行展开 ,得 ８ Dn = ( a + b)Dn 1 ab阶)1(1...0000...0000.....................00...10000...1000...0000...001nbaabbabaabbaabbaab = ( a + b)Dn 1 abDn 2. 把上式改写成 Dn aD n 1 = b(Dn 1 aDn 2 ) 利用上述递推关系 ,递推得到 Dn aDn 1 = b (Dn 1 aDn 2 ) = b2(Dn 2 aDn3 ) = bn 2(D2 aD 1 ). 而 D1 = a + b, D2 =baabba 1=a2+ab+b2, 将它们代入上式 , 得 Dn aDn 1 = bn, 即 Dn = aDn1 + bn 再由此递推关系得 Dn = aDn 1+ bn = a(aDn 2 + bn1） + bn =a2Dn 2 +abn1+bn =„„ =an+an1b+...+abn1+bn = 数学归纳法 数学归纳法来计算行列式，一般来说是利用不完全归纳法先寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出对猜想的证明。 因为对于给定的一个行列式，要猜想其值是比较困难的事情，所以有时是先给定其值，然后再去证明一个与自然数 n有关的命题。 数学归纳法分为第一、第二数学归纳法。 ９ 第一数学归纳法：（ 1）证明当 n=1 时表达式成立； （ 2）证明如果当 n=k 时成立，那么当 n=k+1 时也同样成立。 第二数学归纳法：（ 1）证明当 n=1 时命题成立； （ 2） 设 n k时命题成立； （ 3）由归纳假设推出 n=k+1 时命题也成立。 一般情况下，用第一归纳法来计算行列式就可以了，但有时候用第一归纳法来证明时，仅仅只能归纳假设“ n=k 时命题成立”，还不能证明出命题对 n=k+1 也能够成立，所以就要求用更强的归纳假设“ n k时命题成立”，也就是用到了第二数学归纳法。 用数学归纳法 计算行列式时，要看行列式的具体条件，再决定是适用第一数学归纳法还是第二数学归纳法。 例 8 证明 Dn=c o s21...0001c o s2...000..................00...1c o s2100...01c o s=cos n , 证明：用第一数学归纳法证明。 当 n=1 时 , cos1 D ， 等式成立； n=2时 ,  2c o s1c o s2 22 D D1=cos , 等式成立； 设当 n=k 时 , 等式成立 , 则 当 n=k+l 时 , 按最后一行展开1kD2cos11...0000c o s2...000..................00...1c o s2100...01c o skD  )1c o s (c o sc o s2c o s2 1   kkDD kk =cos(k+1) =右边，故等式成立，得证。 １０ 例 9 计算行列式 21112112112nD 解： D1=2， D2=41=3,D3=822=4 猜想 Dn=n+1 （ 1）当 n=1 时验证成立； （ 2）假设 kn 时成立，即有 Dk=k+1 当 n=k+1 时，有        11211212210000...2100...1210...012211kkkkDDnnk 11 2   kkk DDD 当 n=k+1 时，猜想成立。 线性因子计算法 首先需要了解 到以下两个命题： (1) 设行列式 D 中的各元素都是 a,b 的有理整函数 , 若以 b 代替 a 时，行列式的值为零 , 则 a b 是原行列式的一个因子。 (2) 设行列式 D 的元素都是 x 的。