331综合法北师大版选修1-2内容摘要：
＋ b 2 ＋ c 2 ≥13 ； (2 ) a ＋ b ＋ c ≤ 3 . 证明 ( 1) ∵ a2＋19≥2 a3， b2＋19≥2 b3， c2＋19≥2 c3， ∴a2＋19＋b2＋19＋c2＋19 ≥23a ＋23b ＋23c ( 当且仅当 a ＝ b ＝ c ＝13时等号成立 ) ＝23( a ＋ b ＋ c ) ＝23. ∴ a2＋ b2＋ c2≥13. ( 2) ∵ a 13≤a ＋132， b 13≤b ＋132， c 13≤c ＋132， 三式相加得a3＋b3＋c3≤12( a ＋ b ＋ c ) ＋12＝ 1. ( 当且仅当 a ＝ b ＝ c ＝13时等号成立 ) ∴ a ＋ b ＋ c ≤ 3 . 规律方法 综合法证明不等式所依赖的主要是不等式 的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几 个： ( 1) a2≥ 0( a ∈ R ) ． ( 2) ( a － b )2≥ 0( a ， b ∈ R ) ， 其变形有 a2＋ b2≥ 2 ab ， a ＋ b22≥ ab ， a2＋ b2≥ a ＋ b 22. ( 3) 若 a 、 b ∈ (0 ，＋ ∞ ) ， 则a ＋ b2≥ ab ， 特别是ba＋ab≥ 2. (4)a2＋ b2＋ c2≥ab＋ bc＋ ca(a、 b、 c∈ R)． 由基本不等式 a2＋ b2≥2ab， 易得 a2＋ b2＋ c2≥ab＋ bc＋ ca， 而此结论是一个很重要的不等式 ， 许多不等式的证 明都可以用到该结论 ． (5)a＋ b＋ c， a2＋ b2＋ c2， ab＋ bc＋ ca这三个式子之间的 关系 ， 由 (a＋ b＋ c)2＝ a2＋ b2＋ c2＋ 2(ab＋ bc＋ ca)给出 ， 三式中知道两式 ， 第三式可以由该等式用另两式表示出 来 ． 【训练 2 】 已知 a ， b ， c 是正实数， a ， b ， c 互不相等且 abc＝ 1. 证明： a ＋ b ＋ c ＜1a＋1b＋1c. 证明 因为 a ， b ， c 是正实数， a ， b ， c 互不相等且 abc ＝ 1 ，所以1a＋1b＞ 2 1ba＝ 2 c ，1a＋1c＞ 2 1ca＝ 2 b ， 1b＋1c＞ 2 1。阅读剩余 0%
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