创新设计20xx届高考数学人教a版(理)一轮复习：统计与概率(编辑修改稿)

创新设计20xx届高考数学人教a版(理)一轮复习：统计与概率(编辑修改稿)内容摘要：

(1)由题意，第 5 组抽出的号码为 22. 因为 k＋ 5 (5－ 1)＝ 22，所以第 1 组抽出的号码应该为 2，抽出的 10 名职工的号码分别为 2,7,12,17,22,27,32,37,42,47. (2)因为 10 名职工的平均体重为 x ＝ 110(81＋ 70＋ 73＋ 76＋ 78＋ 79＋ 62＋ 65＋ 67＋ 59)＝ 71， 所以样本方差为： s2＝ 110(102＋ 12＋ 22＋ 52＋ 72＋ 82＋ 92＋ 62＋ 42＋ 122)＝ 52. (3)从 10 名职工中随机抽取两名体重不轻于 73 公斤的职工，共有 10 种不同的取法： (73,76)， (73,78)， (73,79)， (73,81)， (76,78)， (76,79)， (76,81)， (78,79)，(78,81)， (79,81)． 记 “ 体重为 76 公斤的职工被抽取 ” 为事件 A，它包括的事件有 (73,76)，(76,78)， (76,79)， (76,81)共 4 个． 故所求概率为 P(A)＝ 410＝ 25. 第 2 讲 变量间的相关关系与统计案例 【 20xx 年高考会这 样考】 1．考查利用散点图判断变量之间的关系． 2．考查线性回归方程的计算或回归分析的思想与方法的应用问题． 3．考查独立性检验的基本思想及应用． 考点梳理 1． 相关关系的判断 (1)散点图直观反映了两变量的成对观测值之间存在的某种关系，利用散点图可以初步判断两个变量之间是否线性相关．如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线的附近，我们说变量 x 和 y 具有线性相关关系． (2)相关系数 r＝i＝ 1n xi－ x yi－ y i＝ 1n xi－ x 2 i＝ 1n yi－ y 2，当 r0 时，两变量正相关，当r0 时，两变量负相关，当 |r|≤ 1 且 |r|越接近于 1，相关程度 越高 ，当 |r|≤ 1 且 |r|越接近于 0，相关程度 越低． 2． 最小二乘法求回归直线方程 (1)设线性回归方程为 y^＝ b^x＋ a^，其中， b^是回归方程的斜率， a^是截距．  b^＝ i＝ 1n xi－ x yi－ y i＝ 1n xi－ x 2＝i＝ 1nxiyi－ n x yi＝ 1nx2i－ n x 2，a^＝ y － b^ x . (2)回归直线一定经过样本的中心点 ( x ， y )，据此性质可以解决有关的计算问题． 3． 独立性检验 (1)独立性检验的有关概念 ① 分类变量 可用变量的不同 “ 值 ” 表示个体所属的 不同类别 的变量称为分类变量． ② 2 2 列联表 假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的值域分别为 {x1， x2}和 {y1， y2}，其样本频数列联表 (称为 2 2 列联表 )为： y1 y2 总计 x1 a b a＋ b x2 c d c＋ d 总计 a＋ c b＋ d a＋ b＋ c＋ d (2)独立性检验 利用随机变量 K2＝ nad－ bc2a＋ bc＋ da＋ cb＋ d(其中 n＝ a＋ b＋ c＋ d 为样本容量 )来判断 “ 两个变量有关系 ” 的方法称为独立性检验． 步骤如下： ① 计算随机变量 K2的观测值 k，查下表确定临界值 k0： P(K2≥ k0) 0 0 5 5 k0 P(K2≥ k0) 5 25 10 05 1 k0 ② 如果 k≥ k0，就推断 “ X 与 Y 有关系 ” ，这种推断犯错误的概率不超过P(K2≥ k0)；否则，就认为在犯错误的概率不超过 P(K2≥ k0)的前提下不能推断“ X 与 Y有关系 ” ． 一个区别 函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系．事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系． 三个特征 (1)回归方程 y^＝ b^x＋ a^中的 b^表示 x 增加一个单位时， y^的变化量约为 b^. (2)R2 越大，残差平方和越小，即模型的拟合效果越好； R2 越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差． (3)当 K2≥ 时，则有 95%的把握说事件 A与 B 有关； 当 K2≥ 时，则有 99%的把握说事件 A与 B 有关； 当 K2≤ 时，则认为事件 A与 B 无关． 考点自测 1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是 ( )． A．正方体的棱长与体积 B．单位面积的产量为常数时，土地面积与总产量 C．日照时间与水稻的亩产量 D．电压一定时，电流与电阻 解析 A， B， D 中两个变量间的关系都是确定的，所以是函数关系； C 中的两个变量间是相关关系，对于日照时间一定的水稻，仍可以有不同的亩产量，故选 C. 答案 C 2．对变量 x， y 有观测数据 (xi， yi)(i＝ 1,2， „ ， 10)，得散点图 (1)；对变量 u，v 有观测数据 (ui， vi)(i＝ 1,2， „ ， 10)，得散点图 (2)．由这两个散点图可以判断( )． A．变量 x 与 y 正相关， u 与 v 正相关 B．变量 x 与 y 正相关， u 与 v 负相关 C．变量 x 与 y 负相关， u 与 v 正相关 D．变量 x 与 y 负相关， u 与 v 负相关 解析 由图 (1)可知，各点整体呈递减趋势， x 与 y 负相关；由图 (2)可知，各点整体呈递增趋势， u 与 v 正相关． 答案 C 3． (20xx湖南 )设某大学的女生体重 y(单位： kg)与身高 x(单位： cm)具有线性相关关系，根据 一组样本数据 (xi， yi)(i＝ 1,2， „ ， n)，用最小二乘法建立的回归方程为 y^＝ － ，则下列结论中不正确的是 ( )． A． y 与 x 具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心 ( x ， y ) C．若该大学某女生身高增加 1 cm，则其体重约增加 kg D．若该大学某女生身高为 170 cm，则可断定其体重必为 kg 解析 根据线性回归方程中各系数的意义求解．由于线性回归方程中 x 的系数为 ，因此 y 与 x 具有正的线性相关关系，故 A 正确．又线性回归方程必过样本中心点 ( x ， y )，因此 B 正确．由线性回归方程中系数的意义知， x 每增加 1 cm，其体重约增加 kg，故 C 正确．当某女生的身高为 170 cm 时，其体重估计值是 kg，而不是具体值，因此 D 不正确． 答案 D 4．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了 100位居民进行调查，经过计算 K2≈ ，根据这一数据分析，下列说法正确的是( )． A．有 99%的人认为 该栏目优秀 B．有 99%的人认为该栏目是否优秀与改革有关系 C．有 99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系 D．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系 解析 只有 K2≥ 才能有 99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系，而即使 K2≥ 也只是对 “ 电视栏目是否优秀与改革有关系 ” 这个论断成立的可能性大小的结论，与是否有 99%的人等无关．故 D 正确． 答案 D 5． (20xx辽宁 )调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位：万元 )和年饮食支出 y(单位：万元 )，调查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性 相关关系，并由调查数据得到 y 对 x 的线性回归方程： y^＝ ＋ ，家庭年收入每增加 1 万元，年饮食支出平均增加 ________万元． 解析 由题意，知其回归系数为 ，故家庭年收入每增加 1 万元，年饮食支出平均增加 万元． 答案 考向一 线性相关关系的判断 【例 1】 ►下表是某小卖部 6 天卖出的热茶的杯数与当天气温的对比 表 . 气温 /℃ 26 18 13 10 4 － 1 杯数 y 20 24 34 38 50 64 (1)将表中的数据画成散点图； (2)你能依据散点图指出气温与热茶杯数的关系吗。 (3)如果气温与卖出热茶杯数近似成线性相关关系的话，请画出一条直线来近似地表示这种线性相关关系． [审题视点 ] (1)用 x 轴表示气温， y 轴表示杯数，逐一画点； (2)根据散点图分析两个变量是否存在相关关系． 解 (1)画出的散点图如图． (2)从图中可以发现气温和热茶杯数具有相关关系，气温和热茶杯数成负相关，图中的各点大致分布在一条直线的附近，因此气温和杯数近似成线性相关关系． (3)根据不同的标准，可以画出不同的直线来近似表示这种线性相关关系，如让画出的直线上方的点和下方的点数目相等．如图． 利用散点图判断两个变量是否有相关关系是比较简便的方法．在散点图中如果所 有的样本点都落在某一函数的曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系．即变量之间具有函数关系．如果所有的样本点落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系；如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系． 【训练 1】 5 个学生的数学和物理成绩如下表： 学生 A B C D E 学科 数学 80 75 70 65 60 物理 70 66 68 64 62 画出散点图，并判断它们是否有相关关系． 解 把数学成绩作为横坐标，把相应的物理成绩作为纵坐标，在直角坐标系中描点 (xi， yi)(i＝ 1,2， „ ， 5)，作出散点图如图． 从图中可以直观地看出数学成绩和物理成绩具有相关关系，且当数学成绩增大时，物理成绩也在由小变大，即它们正相关．考向二 线性回归方程及其应用 【例 2】 ►(20xx福建 )某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价 x/元 8 9 销量 y/件 90 84 83 80 75 68 (1)求回归直线方程 y^＝ b^x＋ a^，其中 b^＝－ 20， a^＝ y － b^ x ； (2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从 (1)中的关系，且该产品的成本是 4 元 /件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元。 (利润＝销售收入－成本 ) [审题视点 ] (1)分别计算 x ， y ，利用线性回归方程过点 ( x ， y )，代入方程可得解； (2)将已知条件代入可得关于单价 x 的二次函数，配方可得最大值． 解 (1)由于 x ＝ 16(8＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 9)＝ ， y ＝ 16(90＋ 84＋ 83＋ 80＋ 75＋ 68)＝ 80，又 b^＝－ 20， 所以 a^＝ y － b^ x ＝ 80＋ 20 ＝ 250， 从而回归直线方程为 y^＝－ 20x＋ 250. (2)设工厂获得的利润为 L 元，依题意得 L＝ x(－ 20x＋ 250)－ 4(－ 20x＋ 250) ＝－ 20x2＋ 330x－ 1 000 ＝－ 20( )x－ 2＋ . 当且仅当 x＝ 时， L 取得最大值． 故当单 价定为 元时，工厂可获得最大利润． 求回归直线方程的步骤： (1)依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系； (2)计算出 x ，y ， i＝ 1nx2i， i＝ 1nxiyi的值； (3)计算回归系数 a^， b^； (4)写出回归直线方程 y^＝ b^x＋ a^. 【训练 2】 (20xx南昌模拟 )以下是某地搜集到的新房屋的销售价格 y 和房屋的面积 x 的数据 . 房屋面积 x/m2 115 110 80 135 105 销售价格 y/万元 22 (1)求线性回归方程； (2)据 (1)的结果估计当房屋面积为 150 m2时的销售价格． 解 (1) x ＝ 15 (115＋ 110＋ 80＋ 135＋ 105)＝ 109， y ＝ 15 (＋ ＋ ＋ ＋ 22)＝ . 设所求回归直线方程为 y^＝ b^x＋ a^，则 b^＝i＝ 15 xi－ x yi－ y i＝ 15 xi－ x 2＝ 3081 570≈ 2， ∴ a^＝ y － b^ x ＝ － 109 3081 570≈ 6. ∴ 所求回归直线方程为 y^＝ 2x＋ 6. (2)由第 (1)问可知，当 x＝ 150 m2时，销售价格的估计值为 y^＝ 2 150＋ 6＝ 6(万元 )．考向三 独立性检验的基本思想及应用 【例 3】 ►在调查男女乘客是否晕机的事件中，已知男乘客晕机为 28 人，不晕机的也是 28 人，而女乘客晕机为 28 人，不晕机的为 56 人． (1)根据以上数据建立一个 2 2 的列联表； (2)能否在犯错误的概率不超过 的。