20xx数学归纳法讲义

20xx数学归纳法讲义内容摘要：

那么根据（ 1）、（ 2） , 就可以断定命题P(n)对一切正整数 n （ ≥n0 ）都成立． (1) P(n)对无限多个正整数 n成立。 ：设 P(n)是一个与正整数 n有关的命题，如果 : (2) 假设当 n＝ k (k∈ N*, k≥n0 +1) 时 P(k)成立 , 由此推得当 n＝ k1时 P(k1)也成立． naaa , 21 n nn aaanaaa 2121 例 1．设 都是正数，证明： )(。 ,),(1,1 212121算术－几何平均不等式求证：对于任意个正数，是】设【例nnnnnnnnGANnaaaGaaanAnaaa使用归纳法；成立，为此对先证对一切证： mGANmn nnm  ),(2)1(212121212 )2(21)(2111 aaaaaaaaAm  ＝时，有：当nGaaaaaa  212121 )(21＝成立；时，即 nn GAm  1kk GANkkm k 22)(22  个正数，都有任意时，不等式成立，即对假设当时，就有：于是当 1 km)(2 1 11 21222112    kkkk aaaaaA k ＝)(21)](2 1)(2 1[21 2 2122 221212221 11 k kkk kkkk aaaaaaaaaa kk    11 11 22 2122212 2122 221     kk kkkk kkk k Gaaaaaaaaaa ,22 GA 后一个不等号得之于等号得之于归纳假设，上述推理中，前一个不不等式成立；以对一切时，不等式也成立，所可见 )(21 Nmnkm m 也成立个正数那么对任何个正数成立，对任何下面证明，如果不等式121 ,1)2()2(kaaakk)(11 121  kk aaakakn 时的不等式，令：为了利用k kkkkk aaaak aaaak aaa 121121121 1    于是：k kk k aaaaaa 1 121121    111111 )()(   kkkkkkk GAAGAk 次方，即得：时在上面不等式得两端同故可得成立相等时成立；个正数全部当可以看出，等号当且仅都成立，且从证明过程向归纳原理，对于任意综合上述两方面，由反nGANn nn   ,)]()([21)2( dfcfdcf )]()()([1)( 2121 nn xfxfxfnn xxxf  )(xf ],[ ba例 2．已知函数 的定义域为 ，对于区间 ],[ ba dc,内的任意两数 均有： ],[, 21 baxxx n 求证：对于任意 ，均有： )(1s i n)s i ns i n( s i n1],0[,212121nnnnn则，证明：如果【练习】用反向归纳法时，不等式成立；综上可得：时不等式成立，故＝时，当时不等式成立，假设时，不等式成立；即：当时，当时不等式成立，先证证：)(,21)(21s i n)22(21s i n)2s i n2( s i n21)]s i n( s i n21)s i ns i n( s i n21[21]s i ns i ns i ns i n[ s i n211212s i n2c o s2s i n)s i n( s i n2111)(,2)1(111112122211212221212221212221212221121212121NmnkmkmkmmmNmnmkkkkkkkkmkkkkkkkkkkkkkkk，不等式得证；由反向归纳法原理可得时不等式成立；即： kn )(11)2( 211 kk akknkn    时，令时不等式成立，当假设)(1s i n)(11s i n 21121 kkk akak    由假设)s i ns i ns i n(s i n11)(1s i n 12121  kkk akak  )](1s i n)s i n)s i ns i n[(s i n11 21121 kkk akak    )s i ns i n(s i n11)(1s i n1 2121 kk akakk k   数学归纳法的其他形式： 那么根据（ 1）、（ 2）、（ 3）就可以断定命题 P(n）、 Q（ n）对一切正整数 n （ ≥n0 ）都成立． (1) P(n0) (n0 ∈ N*)成立 ； 3. （螺旋式归纳法） ：设 P(n)和 Q（ n）是两个与自然数有 n关的命题，如果 : (2) 假设 P(k) (k∈ N*, k≥n0)成立 ,能推出 Q(k)也成立； (3) 假设 Q(k)(k∈ N*, k≥n0)成立 , 能推出 P（ k+1)也成立； )(,1)1(3,3 1222 Nnnnana nn  }{ na例 中，已知 )134(21),134(21 22212  nnnSnnnS nn求证：  )134(21),134(21),(,1)1(3,31222121222nnnSnnnSNnnnanaannnnn求证：中，已知】在数列【例)134(21)(),134(21)(),(),(22212nnnSnBnnnSnAnBnAnn指在提设条件下求证：命题指在提设条件下求证：命题两个子命题证：依题意把命题分为：下用螺旋式归纳法证明成立即：都成立，和，数综上可得，对任意自然成立成立，即假设成立成立，即假设成立时，当)134(21),134(21)()()1(]1)1(3)1(4)[1(21)26634(211)1(3)。