第1章-11-132命题的四种形式

第1章-11-132命题的四种形式内容摘要：

，则这两个三角形不全等，是真命题． 逆否命题：若两个三 角形不全等，则这两个三角形不等高，是假命题． ( 3) 逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题． 否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题． 逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题． 1 ． 本例中命题的条件和结论不明显，为了不出错误，可以先改写成 “ 若 p ，则 q ” 的形式，再写另外三种命题，进而判断真假． 2 ．要判定四种命题的真假，首先，要正确理解四种命题间 的相互关系；其次，正确利用相关知识进行判断推理．若由 p 经逻辑推理得出 q ，则命题 “ 若 p ，则 q ” 为真；确定 “ 若 p ，则 q ” 为假时，则只需举一个反例说明． 3 ．互为逆否命题等价．当一个命题的真假不易判断时，可通过判定其逆否命题的真假来判断． 有下列四个命题： ① “ 若 b ＝ 3 ，则 b2＝ 9 ” 的逆命题； ② “ 全等三角形的面积相等 ” 的否命题； ③ “ 若 c ＜ 1 ，则 x2＋ 2 x ＋ c ＝ 0 有实根 ” 的逆命题； ④ “ 若 A ∩ B ＝ A ，则 A ⊆ B ” 的逆否命题． 其中真命题的个数是 ______ __ ． 【解析】 ① 若 b ＝ 3 ，则 b2＝ 9 的逆命题为，若 b2＝ 9 ，则 b ＝3 ，所以错误． ② 全等三角形的面积相等的逆命题为面积相等的三角形全等，错误． ③ x2＋ 2 x ＋ c ＝ 0 有实根，则有 Δ ＝ 4 － 4 c ≥ 0 ，即c ≤ 1 ，当 c ≤ 1 时， c ＜ 1 不成立，所以错误． ④ 若 A ∩ B ＝ A ，则 A ⊆B ，正确，所以它的逆否命题也正确，所以正确的有 1 个． 【答案】 1 等价命题的应用 证明：如果 p 2 ＋ q 2 ＝ 2 ，则 p ＋ q ≤ 2. 【思路探究】 可以写出该命题的逆否命题，证明其逆否命题正确，由原命题与其逆否命题的等价性可知原命题也正确． 【自主解答】 该命题的逆否命题为：若 p ＋ q ＞ 2 ，则 p2＋q2≠ 2. 因为 p2＋ q2≥12( p ＋ q )2. 又因为 p ＋ q ＞ 2 ，所以 ( p ＋ q )2＞ 4 ，所以 p2＋ q2＞ 2 ， 即 p ＋ q ＞ 2 时， p2＋ q2≠ 2 成立． 所以如果 p2＋ q2＝ 2 ，则 p ＋ q ≤ 2 成立． 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在证明某一个命题的真假性有困难时，可以证明它 的逆否命题为真 ( 假 ) 命题，来间接地证明原命题为真 ( 假 ) 命题． “ 已知 a ， x 为实数，若关于 x 的不等式 x 2 ＋ (2 a ＋ 1) x ＋ a 2 ＋2 ≤ 0 的解集是空集，则 a ＜ 2 ” ，判断其逆否命题的真假． 【解】 ∵ a ， x ∈ R ，且 x2＋ (2 a ＋ 1)。