第2章-23-232抛物线的几何性质

第2章-23-232抛物线的几何性质内容摘要：

ax 恰有一个公共点，求实数 a 的值． 【解】 联立方程组 y ＝  a ＋ 1  x － 1y2＝ ax . ( 1 ) 当 a ＝ 0 时，此方程组恰有一组解 x ＝ 1y ＝ 0. ( 2 ) 当 a ≠ 0 时，消去 x 得a ＋ 1ay2－ y － 1 ＝ 0. ① 若a ＋ 1a＝ 0 ，即 a ＝－ 1 时， 方程变为一元一次方程－ y － 1 ＝ 0 ， 方程组恰有一组解 x ＝－ 1y ＝－ 1. ② 若a ＋ 1a≠ 0 ，即 a ≠ － 1 ，令 Δ ＝ 0 ，得 1 ＋4  a ＋ 1 a＝ 0 ， 可解得 a ＝－45， 这时直线与曲线相切，只有一个公共点． 综上所述，当 a ＝ 0 ，－ 1 ，－45时，直线 y ＝ ( a ＋ 1) x － 1 与曲线y2＝ ax 恰有一个公共点． 抛物线的焦点弦问题 已知抛物线的顶点在原点， x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为π4 的直线 l 被抛物线所截得的弦长为 6 ，求抛物线方程． 【思路探究】 ( 1 ) 焦点在 x 轴上的抛物线方程如何设。 ( 2) 过焦点且倾斜角为π4的直线方程怎么求。 它被抛物线截得的弦长问题能联系抛物线的定义吗。 【自主解答】 当抛物线焦点在 x 轴正半轴上时， 可设抛物线标准方程是 y2＝ 2 px ( p ＞ 0) ， 则焦点 F (p2， 0) ，直线 l 为 y ＝ x －p2. 设直线 l 与抛物线的交点为 A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ，过 A ， B 分别向抛物线的准线作垂线 AA1， BB1，垂足分别为 A1， B1. 则 | AB |＝ | AF |＋ | BF |＝ | AA1|＋ | BB1| ＝x1＋p2＋x2＋p2＝ x1＋ x2＋ p ＝ 6 ， ∴ x1＋ x2＝ 6 － p . ① 由 y ＝ x －p2y2＝ 2 px ，消去 y ，得x －p22＝ 2 px ， 即 x2－ 3 px ＋p24＝ 0. ∴ x1＋ x2＝ 3 p ，代入 ① 式得 3 p ＝ 6 － p ， ∴ p ＝32. ∴ 所求抛物线标准方程是 y2＝ 3 x . 当抛物线焦点在 x 轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是 y2＝－ 3 x . 1 ． 本题是通过抛物线的性质求其方程的典型例题，抛物线的方程有两种形式，解答时切勿漏掉． 2 ．过焦点 F 和抛物线相交的弦叫做抛物线的焦点弦，在解决与焦点弦有关的问题时，一是注意用焦点弦所在的直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数关系解题，二是注意抛物线定义的灵活运用，特别应注意整体代入的方法． 本例中，若把直线的倾斜角改为 1 3 5 176。 ，被抛物线截得的弦长改为 8 ，其他条件不变，试求抛物线的方程． 【解】 如图，依题意当抛物线方程设为 y2＝ 2 px ( p ＞ 0) 时， 抛物线的准线为 l ，则直线方程为 y ＝－ x ＋12p . 设直线交抛物线于 A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ， 则由抛物线定义得 | AB |＝ | AF |＋ | FB |＝ | AC |＋ | BD |＝ x1＋p2＋ x2＋p2， 即 x1＋p2＋ x2＋。