三角函数的图象和性质

三角函数的图象和性质内容摘要：

1 2 6  5 4 综上得到 y= cos2x+ sinxcosx+1 的图象 . 3 2 1 2 f(x)=sin(x+)(0, 0≤ ≤ ) 是 R 上的偶函数 , 其图象关于点 M( , 0) 对称 , 且在区间 [0, ] 上是单调函数 , 求  和  的值 . 4 3 2  解 : ∵ f(x)=sin(x+)(0, 0≤ ≤ ) 是 R 上的偶函数 , ∴ sin(x+)=sin(x+), 即 cossinx=cossinx 对任 意实数 x 都成立 . ∵ 0, ∴ cos=0. 又 ∵ 0≤ ≤ , ∴ = . 2  ∵ f(x) 的 图象关于点 M 对称 , ∴ f(x)=cosx. ∴ 点 M 为 f(x) 图象的一个对称中心 . ∴ =k+ (kZ). 4 3 2  ∴ = (kZ). 4k+2 3 ∴ f(x)=cosx 在区间 [0, ] 上是减函数 .   ∵ 0, 2  2 3 综上所述 , = , =2 或 .   2  必有 ≤ , 即 0≤ 2. ∴ 要使 f(x)=cosx 在区间 [0, ] 上是单调函数 , 2  4k+2 3 ∴ 0 ≤ 2(kZ). 解得 k=0 或 1. 2 3 ∴ =2 或 . y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x= 对称 , 求 a 的值 . 8  解 : y=sin2x+acos2x= a2+1 sin(2x+), 其中 , tan=a. 法 1 ∵ 函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x= 对称 , 8  ∴ 当 x= 时 , y 取最大值或最小值 . 8  ∴ 2( )+=k+ , kZ. 2  8  ∴ =k+ , kZ. 4 3 ∴ a=tan=tan(k+ )=1. 4 3 法 2 ∵ 函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x= 对称 , 8  ∴ 当 x= 时 , y 取最大值或最小值 . 8  |sin2( )+acos2( )|2=a2+1 8  8  解得 a=1. 法 3 ∵ 函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x= 对称 , 8  ∴ 当自变量取 0, 时的函数值相同 . 4  即 0+a=1+0. ∴ sin0+acos0=sin2( )+acos2( ). 4  4  ∴ a=1. 法 4 ∵ 函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x= 对称 , 8  而函数 y=sin2x+acos2x 的周期为 , ∴ 当 x= + = 时 , 函数值为 0. 8  4  8  ∴ sin +acos =0. 4  4  ∴ a=1. 课后练习 f(x)=log (sinxcosx), (1)求它的定义域和值域。 (2)判断它的单调区间。 (3)判断它的奇偶性。 (4)判断它的周期性 , 如果是周期函数 , 求出它的一个周期 . 1 2 解 : (1)由 sinxcosx0, 即 2sin(x )0 得 : 4  2k+ x2k+ , kZ 4  4 5 {x | 2k+ x2k。