数学与应用数学本科毕业论文-lorenz混沌系统的自适应同步控制(编辑修改稿)

数学与应用数学本科毕业论文-lorenz混沌系统的自适应同步控制(编辑修改稿)内容摘要：

,提出了一些新的方法 [29]。 (3) 混沌开关技术。 混沌开关技术又称混沌键控或混沌参数调制。 它是把混沌系统用于密码发射的最简单技术。 其基本思想是根据在不同的系统参数下具有不同的吸引子来编制二进制信息代码 )(ts ,如用“ 1”表示参数 1 下所对应的一个吸引子 ,用“ 0”表示 2 下所对应的另一个混沌吸引子 2A ,混沌系统的行为在1A 与 2A 之间转换 ,应用欧氏空间距离来检测重构的混沌吸引子和接收到的混沌吸引子的差别 ,由参数变化来调制系统的响应时间。 现已提出的混沌开关数字通信制式主要包括 :CSK(Chaos Shift Keying) ,COOK(Chaotic On Off Keying) ,DCSK(Differential Chaos Shift Keying) 和 FM DCSK(Frequency Modulation Differential Chaos Shift Keying)。 各种开关技术的区别表现在所选择的混沌系统 ,是同步开关还是非同步开关 ,是相关检测还是非相关检测。 这几年 ,已提出了一些混沌同步开关方法 [30]。 混沌同步与控制 [3135] 混沌的控制与同步可能在今后高新科技领域中有重要的应用前景，并将在国际上出现竞争的发展趋势。 例如，利用简单非线性系统的时间混沌，特别是时空混沌，可以作为大量的信息源，从而可以研制超高容量的动态信息存储器，用于信息识别、记忆及处理 等目的。 据悉，日本已经利用混沌特性研制了新的功能元件，它可作为大容量动态信息存储器及高速数据处理系统。 利用混沌编码及解码技术，可能大大地扩展通讯量及加强保密性等，因此该技术早就列入美国国防的研究计划，正在加紧秘密研究之中。 从当前发展的趋势，我们可以预言，混沌控制与同步人信息科学中的非线性技术在未来信息科技领域将发挥难以预料的重要作用，从而加速国际上现代社会信息化的进程。 (1) 改善和提高激光器的性能 应用混沌控制来改善和提高激光器的性能，特别是提高功率等，是当前一个热点。 例如，美国海军研究实验室的一个研究 小组利用跟踪控制法，在激光装置上不仅在很宽的功率范围维持激光稳定运行，而且惊人地把激光输出功率提高到15倍。 这是因为原来不加控制时由于混沌的缘故只能在有限的功率范围内维持稳定，跟踪控制加上去后，可以自动补偿系统时间演化而产生的参数变化或其它因素所导致的参数慢变，进而消除了激光混沌，实现了对高周期的稳定控制。 (2) 在其它高新科技领域中的可能应用 混沌的控制与同步可能在今后高新科技领域中有重要的应用前景，并将在国际上出现竞争的发展趋势。 例如，利用简单非线性系统的时间混沌，特别是时空混沌，可以作为大量的信息源 ，从而可以研制超高容量的动态信息存储器，用于信息识别、记忆及处理等目的。 据悉，日本已经利用混沌特性研制了新的功能元件，它可作为大容量动态信息存储器及高速数据处理系统。 利用混沌编码及解码技术，可能大大地扩展通讯量及加强保密性等，因此该技术早就列入美国国防的研究计划，正在加紧秘密研究之中。 从当前发展的趋势，我们可以预言，混沌控制与同步人信息科学中的非线性技术在未来信息科技领域将发挥难以预料的重要作用，从而加速国际上现代社会信息化的进程。 未来能源的希望所在 — 受控热核聚变中的等离子体的混沌、湍流等控制约束间题，是 涉及难度最大的现代科技问题，实际上它们的中心问题是如何有效控制等离子体中复杂运动的时间混沌及湍流问题。 虽然，目前已发展的诸多混沌控制方法，对解决这一大难题尚未见端倪。 但是，我们认为这是朝着解决问题的一种研究方向，或换句话说，时空混沌的控制与同步的研究应当把这一难题包括在自己的研究目标范畴内。 事实上，正因为这个挑战性课题的极端重要性和深远意 义，国际上有卓识远见的科学家正朝着这个方向和路线努力，该课题引起了国内外的关注。 美国已经把混沌信号控制处理技术应用于反应堆中的热传递系统的时间序列的数据分析，以及拓广于许 多领域中的无损探测。 有人预计，应用时间混沌为开发混沌计算机提供了一种可能性，很可能是继研究模糊计算机之后，为开创新型计算机提供一种发展途径。 混沌控制与同步领域与生命科学的研究诸如神经网络、脑科学、心脏等领域的研究密切相关 [36]。 首例应用可以追溯到第一届国际实验混沌会议，在那里导致了在生物系统中实现混沌控制的首项技术的诞生。 洛杉矶加州大学医学院的一个研究小组研究了一只兔子的心脏上的一个隔离区，通过向冠状动脉注射一种称为鸟本昔的药物能在心脏上引起不规则的快速收缩。 一旦这种心律不齐的症状开始出现，他们就用一种 电信号去刺激心脏。 这种信号就是按照前述的 OGY控制方法设计的一种方案来产生的。 实验结果显示 :这些看上去随机的信号足以使心脏进行有规则的跳动，有时还能把心跳降低到正常水平。 另一方面，随机信号或周期信号并不能中止心律不齐，而且常常恶化，他们已经开始测试用不同形式的 OGY混沌控制方案能否达到控制人类心律不齐问题，预计这种混沌控制技术有可能用于治疗心室纤维颤动。 现在利用混沌控制技术正在加紧研究一种心脏整律器及去纤维堆颤动器。 随机因素对混沌同步的影响 在现实世界中，不确定性因素是普遍存在的，这些不确定的 、随机的因素往往对系统产生一些不利的干扰。 这些随机因素有布朗运动的特征。 事实上 ,信号传输的过程中，噪声的影响会影响信号的质量，进而影响主 从系统的同步。 这样，隐含在混沌系统里面的信息信号就不能还原出来，也就不能达到保密通信的目的。 所以，在本文中，我们还考虑了噪声对混沌同步的影响，这样就更符合实际应用。 鲁棒性介绍 鲁棒性 [6]就是系统的健壮性。 它是在异常和危险情况下系统生存的关键。 比如说，计算机软件在输入错误、磁盘故障、网络过载或有意攻击情况下，能否不死机、不崩溃，就是该软件的鲁棒性。 所谓“鲁棒性 ”，是指控制系统在一定（结构，大小）的参数摄动下，维持某些性能的特性。 根据对性能的不同定义，可分为稳定鲁棒性和性能鲁棒性。 以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得到的固定控制器称为鲁棒控制器。 鲁棒性原是统计学中的一个专门术语， 20 世纪 70 年代初开始在控制理论的研究中流行起来，用以表征控制系统对特性或参数摄动的不敏感性。 在实际问题中，系统特性或参数的摄动常常是不可避免的。 产生摄动的原因主要有两个方面，一个是由于量测的不精确使特性或参数的实际值会偏离它的设计值（标称值），另一个是系统运行过程中受环境因素的影响而引起特 性或参数的缓慢漂移。 因此，鲁棒性已成为控制理论中的一个重要的研究课题，也是一切类型的控制系统的设计中所必须考虑的一个基本问题。 对鲁棒性的研究主要限于线性定常控制系统，所涉及的领域包括稳定性、无静差性、适应控制等。 鲁棒性问题与控制系统的相对稳定性（频率域内表征控制系统稳定性裕量的一种性能指标）和不变性原理（自动控制理论中研究扼制和消除扰动对控制系统影响的理论）有着密切的联系，内膜原理（把外部作用信号的动力学模型植入控制器来构成高精度反馈控制系统的一种设计原理）的建立则对鲁棒性问题的研究起了重要的推动作用。 当系 统中存在模型摄动或随机干扰等不确定性因素时能保持其满意功能品质的控制理论和方法称为鲁棒控制器。 早期的鲁棒控制主要研究单回路系统频率特性的某些特征，或基于小摄动分析上的灵敏度问题。 现代鲁棒控制则着重研究控制系统中非微有界摄动下的分析与设计的理论和方法。 控制系统的一个鲁棒性是指控制系统在某种类型的扰动作用下，包括自身模型的扰动下，系统某个性能指标保持不变的能力。 对于实际工程系统，人们最关心的问题是一个控制系统当其模型参数发生大幅度变化或其结构发生变化时能否仍保持渐近稳定，这叫稳定鲁棒性。 进而还要求在模型扰动下 系统的品质指标仍然保持在某个许可范围内，这称为品质鲁棒性。 鲁棒性理论目前正致力于研究多变量系统具有稳定鲁棒性和品质鲁棒性的各种条件。 它的进一步发展和应用，将是控制系统最终能否成功应用于实践的关键。 一直以来， Lorenz 混沌系统的完全同步问题一直是研究热潮，并用许多混沌同步方法得到了驱动 响应同步的充分条件。 由于自适应控制中的反馈增益是一个动力系统，它可以根据系统的需要自动调节到适当的反馈增益，他具有很好的鲁棒性和实用性等特点，而且容易操作。 所以，在本文中我们考虑利用自适应同步方法研究并实现 Lorenz 混沌 系统同步，利用控制理论和稳定性理论，设计自适应控制器，实现用包含多个控制器实现混沌系统同步的方案，并给出了数值仿真，说明方法的有效性及可行性。 第二章 准备工作 设一个非线性系统： ()x f x ， （ 21） 其中 , nRx 为状态向量 , nn RRf : 是 一 个光滑的非线性映射。 我们以（ 21）为驱动系统，并以结构相同的另一个系统为响应 系统： ()y f y U。 （ 22） 其中 , nRy 为响应系统的状态向量 , nRU 为响应系统的控制向量。 （ 21）和（ 22）的初值可以不同。 即 00(0) , (0)x x y y，但是 00xy。 控制的目的就是使（ 22）式的状态与（ 21）式的状态渐近一致，即： ( ) ( ),y t x t t  ，而与它们的初值无关。 定义 1 若两个非线性系统（ 21）和（ 22）对于任何处置都满足 ( ) ( ) 0 ,limt x t y t  则称系统（ 21）与（ 22）是 全局渐近同步 的。 本文考虑 Lorenz混沌系统的同步问题，其微分方程为 。 ，dtbxxxdxdtxxxrxdxdtxxdx)()()]([321331212121  （ 23） 即 dttxftAxtdx ))](()([)(  ， 其中brA00010 ，   21310)( xxxxxf ，  ),( 321 xxxx 为驱动系统的状态变量， 0, r, b 为实数。 当 10 ， 8, 283rb时， Lorenz系统具有典型的混沌状态。 将（ 23）式作为驱动系统，作如下响应系统 。 ，313332133122312123111121))((][))((][))((])([jjjjjjjjjdtehdtUbyyydydtehdtUyyyrydydtehdtUyydy （ 24） 或者写成矩阵形式： dtehdtUtyftAytdy ))((]))(()([)(  其中   21310)( yyyyyf ， 33)))((())((  tehteH ij ，  ),( 321 yyyy 为响应系统的状态变量，  1 2 3d d d d     是定义在一个全概率空间中的 3 维布朗运动。 在本文中，我们假设当 ji 时， ()idt 和 ()jdt 是彼此独立的过程 ，)3,2,1( iUi 为待设计的同步控制器 . 为了研究（ 23）和（ 24）的同步问题，定义同步误差为 ( ) ( ) ( ) , ( 1 , 2 , 3 )i i ie t y t x t i  。 由（ 23）和（ 24）得如下误差系统： 3133211233312231132123111121))(()()())(()()())((])([)(jjjjjjjjjdtehUexeybetdedtehdtUexeyeretdedtehdtUeetde （ 25） 或者写成矩阵形式： )()()( tdxtdytde  = dtehdtUtxftyftAe ))((]))(()(()([  （ 26） 定义 2 （均方意义下稳定）： 随机 误 差 系统 (5)称为是均方稳定的 ,如果对任何初始状态 )(0te ,都有 0)(lim 2  tet。 （ 27） 定义 3 对于系统（ 23）和（ 24），如果对任意的初值都有 0)()(lim 2  txtyt 则称系统（ 23）和（ 24）在均方意义下渐近同步的。 显然，要实现（ 23）和（ 24）在均方意义下渐近同步，我们只要证明系统（ 25）或（ 26）的平凡解在均方意义下是稳定的。 要实现 此目的，在本文中，我们将设计自适应控制器。 在给出本文主要结果之前， 我们首先给出与本文相关的几个引理。 稳定性是考查一个系统的重要指标之一 ,通过解来判定稳定性一般是行不通的 ,目前主要方法是通过构造李亚普诺夫函数来判定系统稳定性 , 构造李亚普诺夫函数没有通用的方法 ,只能通过试验的方法来验证所构造李亚普诺夫函数的合理性。 连续时间非线性时不变系统 ,自治状态方程为 ()x f x 0t （ 28） 其中 x 为。