第二节、二重积分的性质

第二节、二重积分的性质内容摘要：

为 X型 bxaxyxD  ），()(: 21   作平面则， ,0 bax  0xx 得截面面积  )( )( 00 21 ),()( xx dyyxfxA 一般的  )( )(21 ),()( xx dyyxfxA  , bax     ba ba xx dxdyyxfdxxAV )( )(21 ),()(   ba xx dyyxfdx )( )(21 ),(记为综上：   Dbaxx dyyxfdxdyxf)()(21),(),( a 0x bzyx)( 0xA)(1 x)(2 x),( yxfz 类似的，若 D为 Y型区域 dycyxyD  ),()(: 21   Ddcyydxyxfdydyxf )()(21),(),( 则—— 称为先 x后 y的二次积分 实际上对其它、上述讨论限制了注： ,0),(1  yxf情形仍成立 分化为二次积分的、确定积分限是二重积2关键，步骤如下： 第一步：画区域 D的图形 第二步：确定类型，求投影曲间，穿入、穿出 线方程，并用联立不等式表示区域 第三步：将二重积分写成二次积分 例 计算 Dxyd 其中区域 D是由 所围成区域及 22  xyxy解：画图 求出交点（ 1， 1） 及（ 4， 2） xy 22 xy(4,2) (1,1) 1D2D法一 D是 X型区域，且 21 DDD 412:,10: 21xxyxDxxyxD  D D Dx y dx y dx y d1 2     1041 2xxxx x y dydxx y dydx  855)2(21 41 2210 2   dxxxxdxx法二 D是 Y型区域，且 21,2: 2  yyxyD    D yy x y dxdyx y d 21 22(4,2) 2yx2 yx(1,1)   855221 21 5)2(   dyyyy例 计算 dxxDs in ， 其中 D由 2xyxy  及所围成 解： D是 X型区域    10 2 s i ns i n xxD dyx xdxdx x 则dxxxx x )(s in 210    10 1s in1)s in( s in dxxxxxy2xy又 D是 Y型区域 dxx xdydx xD yy   10 s i ns i n 则 无法积分。