初中数学竞赛复习资料(编辑修改稿)

初中数学竞赛复习资料(编辑修改稿)内容摘要：

平分线交 BC 边于 L ，又交三角形的外接圆于 N ，过 L 作 AB 和AC 边的垂线 LK 和 LM ,垂足是 MK, ，求证：四边形 AKNM 的面积等于 ABC 的 面积． 5．在等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上取一点 D ，使 BCDC31，作 ADBE 交 AC 于E ，求证： ECAE ． 6．三条直线 nml , 互相平行， nl, 在 m 的两侧 ，且 ml, 间的距离为 2 ， nm, 间的距离为 1，若正 ABC 的三个顶点分别在 nml , 上，求正 ABC 的边长． 7．已知 321 PPP 及其内任一点 P ，直线 PPi 分别 交对边于 iQ （ 3,2,1i ），证明：在332211 , PQPPPQPPPQPP 这三个值中，至少有一个不大于 2，并且至少有一个不小于 2． 8．点 D 和 E 分别在 ABC 的边 AB 和 BC 上，点 K 和 M 将线段 DE 分为三等分，直线 BK和 BM 分别与边 AC 相交于点 T 和 P ，证明： ACTP31． 9．已知 P 是 ABC 内一点，延长 CPBPAP , 分别交对边于 CBA  , ，其中 xAP ，wCPBPAPzCPyBP  , ，且 3,23  wzyx ，求 xyz 之值． 10．过点 P 作四条射线与直线 ll, 分别交于 DCBA , 和 DCBA  , ，求证： CBDA DCBABCAD CDAB  ． 11．四边形 ABCD 的两对对边的延长线分别交 LK, ，过 LK, 作直线与对角线 BDAC, 的延长线分别 FG, ，求证：KGLGKFLF． 12． G 为 ABC 的重心，过 G 作直线交 ACAB, 于 FE, ，求证： GFEG 2 ． 竞赛专题讲座 06 －平面几何四个重要定理 四个重要定理： 梅涅劳斯 (Menelaus)定理（梅氏线） △ABC 的三边 BC、 CA、 AB 或其延长线上有点 P、 Q、 R，则 P、 Q、R 共线的充要条件是。 塞瓦 (Ceva)定理（塞瓦点） △ABC 的三边 BC、 CA、 AB 上有点 P、 Q、 R，则 AP、 BQ、 CR 共点的充要条件是。 托勒密 (Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内 接于一圆。 西姆松 (Simson)定理（西姆松线） 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。 例题： 1． 设 AD 是 △ABC 的边 BC 上的中线，直线 CF 交 AD 于 F。 求证：。 【分析】 CEF 截 △ABD→ （梅氏定理） 【评注】也可以添加辅助线证明：过 A、 B、 D 之一作 CF 的平行线。 2． 过 △ABC 的重心 G 的直线分别交 AB、 AC 于 E、 F，交 CB 于 D。 求证：。 【分析】连结并延长 AG 交 BC 于 M，则 M 为 BC 的中点。 DEG 截 △ABM→ （梅氏定理） DGF 截 △ACM→ （梅氏定理） ∴ = = =1 【评注】梅氏定理 3． D、 E、 F 分别在 △ABC 的 BC、 CA、 AB 边上， ， AD、 BE、 CF 交成 △LMN。 求 S△LMN。 【分析】 【评注】梅氏定理 4． 以 △ABC 各边为底边向外作相似的等腰 △BCE 、 △CAF 、 △ABG。 求证： AE、 BF、CG 相交于一。