无穷小

的 某 邻 域 内定 义 有 定 义 ，()f x a若 在 点 的 某 个 空 心 邻 域 内 有 界 , 则 称 性质 1 若函数 都是无穷大， 则函数 是无穷大 . 证明 ( ) ( ) ( )f x g x x a与( ) ( ) ( )f x g x x a 性质 2 若函数 是无穷大， 是有界量，则函数 也是无穷大 . ( ) ( )f x x a ( )( )g x x

 l i ml i ml i m .lim例３ .co s1 2t a nlim20 xxx 求解 .2~2t a n,21~co s1,0 2 xxxxx  时当22021)2(limxxx 原式.8若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限． 不能滥用等价无穷小代换 . 切记

x 求： xx xxx 22220 s ins inlim 解：原式（ 1）， 现在我们 直接使用洛比达法则 ， 则 xxxxx xxxx c o ss in2s in2 2c o ss in2lim 220   原式（ 2） 会发现，分子 分母上的求导运算越来越复杂 ， 并没有起到简化的作用。 那么怎么办呢 ?我们这时候要想到等价无穷小替换，如果在第（ 1）步中

① 若 ()fx～ 1()fx、 ()gx～ 1()gx、且 11()lim ()fxgx 存在且 11()lim 1()fxgx,则有 ()fg ～ 11()fg . ② 若 ()fx～ 1()fx、 ()gx～ 1()gx、且 11()lim ()fxgx 存在且 11()lim 1()fxgx ,则有 ()fg ～ 11()fg . ③ 若 ()fx～ 1()fx、

x f xg x g x   0211 2 21 2 1()1()li m( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )101 1 01xxfxfxg x g x f xf x f x f x ③ 当 c 时 ,证法同② 综上①②③所述 ,定理 3 成立 . 注 定理 3 说明了在求极限时 ,若某个因子 是 两个 ． ． 无穷小量的和 时 ,只要这 两 ．个 ．