高中数学1-1第1课时数列的概念同步导学案北师大版必修5

高中数学1-1第1课时数列的概念同步导学案北师大版必修5内容摘要：

„为相邻奇数的乘积，即 (2n1) (2n+1)，故原数列的一个通项公式为 an=)12)(12( 2  nn n. (3)由于在所给数列的项中，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数，再观察，在数列 21 ,24 ， 29 ， 216 ， 225 ，„中，分母为 2，分子为 n2，故 an=22n . (4)数列中每一项由三部分组成，分母是从 1开始的奇数列，其通项公式为 2n1；分子的前 一部分是从 2开始的自然数的平方，其通项公式为 (n+1) 2，分子的后一部分是减去一个自然数，其通项公式为 n，综合得原数列的一个通项公式为 an= 12 )1( 2n nn = 12 12 nnn . ［说明］ 在根据数列的 前 n 项求数列的一个通项公式时，要注意观察每一项的特点 .解题的注意力应集中到寻求数列的项与项数的关系上来，观察这几项的表示式中哪些部分是变化的，哪些部分是不变的，再探索各项中变化部分与对应的项数之间的关系，从而归纳出项与项数关系的规律，写出通项公式 . 变式应用 2 写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数： （ 1） 1， 3， 7， 15， 31，„。 （ 2） 1， 21 ， 31 ， 41 ，„； （ 3） ， ， ，„„， 0.  9999 个项有第 nn ，„ . ［解析］ （ 1）注意观察各项发现各项分别加上 1，变为 2,4,8,16,32,„ ,其通项公式为2n,故原数列通项公式为 an=2n1,n∈ N+。 （ 2）调整为 11 ， 21 ， 31 ， 41 ，它的前几项都是自然数的倒数，∴ an=n1 ； （ 3） =1－ ， =1－ ， =1－ ，„ ∴第 n项 an=0.  9n 999个 =1－ 0.  0n 000个 1=1－n101. 命题方向 数列通项公式的简单应用 ［例 3］ 在数列｛ an｝中通项公式是 an＝（ 1） n1)1)(12( 2  nn n,写出该数列的前 5项，并判断 17081 是否是该数列中的 项。 如果是，是第几项，如果不是，请说明理由 . ［分析］ 由通项公式写出数列的前 5项，令 an=17081,判断是否有正整数解即可 . ［解析］ a1=(1) 0 2112 ＝21， a2=(1) 13322＝－94， a3=(1) 2 4532 ＝209. a4=(1) 3 5742 ＝－ 3516 ， a5=(1) 4 6952 ＝ 5425 . ∴该数列前 5项分别为： 21 ，－ 94 ， 209 ， 3516,5425 . 令 (1) n1)1)(12( 2  nn n=17081 得 n1且为奇数 8n281n+81=0. ∴ n= 17081 是该数列中的第 9项 . ［说明］ 已知数列的通项公式可以写出该数列中的任意一项，可以判断一个数（或代数式）是否为该数列中的项 .令通项公式等于这个数，若方程有正整数解，则该数是数列中的项，否则不是 . 变式应用 3 以下四个数中，哪个是数列 {n（ n＋ 1） }中的项（ ） A. 380 B. 39 C. 32 D. 23 ［分析］ 数列 {an}的通项公式 f(n)=n (n+1)，对于某个数 m，若 m是数列 {an}中的项，则n（ n+1） =m必有正整数解 .若无正整数解，则 m肯定不是 {an}中 的项 . ［答案］ A ［解析］ 依次令 n(n+1)=23或 32或 39检验知无整数解 .只有 n（ n+1） =380有整数解 n=19. 探索延拓创新 命题方向 数列的递推公式 ［例 4］ 在数列 {an}中， a1=2,a2=1,且 an+2=3an+1an,求 a6+a43a5. ［分析］ 由 a1=2， a2=1及递推公式 an+2=3an+1an,依次找出 a3,a4,a5,a6即可 . ［解析］ 解法一：∵ a1=2,a2=1,an+2=3an+1an, ∴ a3=3a2a1=3 12=1, a4=3a3a2=3 11=2, a5=3a4a3=3 21=5, a6=3a5a4=3 52=13, ∴ a6+a43a5=13+23 5=0. 解法二：∵ an+2=3an+1an, 令 n=4,则有 a6=3a5a4,∴ a6+a43a5=0. ［说明］ 递推公式是给出数列的一种方法， 应用递推公式可以求数列中的项，但需要一项一项递推，故在运算过程中要特别细心 . 变式应用 4 已知数列 {an}的首项 a1=1,an=2an1+1(n≥ 2)，那么 a5= . ［答案］ 31 ［解析］ 由递推关系式 an=2an1+1和 a1=1可得 a2=2a1+1=3,a3=2a2+1=7, a4=2a3+1=15,a5=2a4+1=31. 名师辨误做答 ［例 5］ 已知数列 {an}的前 4项为 1,0,1,0，则下列各式可以作为数列 {an}的通项公式的有（ ） ① an=21［ 1+(1) n+1］。 ② an=sin22nπ， (n∈ N+)。 ③ an=21［ 1+(1) n+1］ +(n1)(n2)。 ④an=2 πcos1 n。 1 (n为偶数 ) ⑤ an= 0 (n为奇数 ) A. 4个 B. 3个 C. 2个。