北师大版高考数学一轮总复习24二次函数的图像与性质

北师大版高考数学一轮总复习24二次函数的图像与性质内容摘要：

次函数的解析式时，如果选用的形式不当、引入的系数过多，会加大运算量，易出错． 已知二次函数 f ( x ) 的图像过 A ( － 1,0) ， B ( 3,0) ， C (1 ，－ 8) ． ( 1) 求 f ( x ) 的解析式； ( 2) 求 f ( x ) 在 x ∈ [ 0,3] 上的最值； ( 3) 求不等式 f ( x ) ≥ 0 的解集． [ 解析 ] (1) 由题意可设 f ( x ) ＝ a ( x ＋ 1 )( x － 3) ， 将 C (1 ，－ 8) 代入得－ 8 ＝ a (1 ＋ 1) (1 － 3) ， ∴ a ＝ 2. 即 f ( x ) ＝ 2( x ＋ 1 )( x － 3) ＝ 2 x2－ 4 x － 6. (2) f ( x ) ＝ 2( x － 1)2－ 8 ， 当 x ∈ [ 0,3] 时，由二次函数图像知 f ( x )m in＝ f (1) ＝－ 8 ， f ( x )m ax＝ f (3) ＝ 0. (3) f ( x ) ≥ 0 的解集为 { x | x ≤ － 1 或 x ≥ 3}. 二次函数的性质 函数 f ( x ) ＝ x2－ 2 x － 1 在闭区间 [ t ， t ＋ 1 ] ( t ∈ R ) 上的最小值记为 g ( t ) ． (1) 试写出 g ( t ) 的函数表达式； (2) 作 g ( t ) 的图像并写出 g ( t ) 的最小值． [ 思路分析 ] 分类讨论 t 的范围分别确定 g ( t ) 的表达式． [ 规范解答 ] (1) f ( x ) ＝ x2－ 2 x － 1 ＝ ( x － 1)2－ 2. ① 当 t ≤ 1 ≤ t ＋ 1 ，即 0 ≤ t ≤ 1 时， g ( t ) ＝－ 2. ② 当 t 1 时， f ( x ) 在区间 [ t ， t ＋ 1] 上是增加的，则最小值g ( t ) ＝ f ( t ) ＝ t2－ 2 t － 1 ； ③ 当 t ＋ 1 1 时，即 t 0 时， f ( x ) 在区间 [ t ， t ＋ 1] 是减少的，则最小值 g ( t ) ＝ f ( t ＋ 1) ＝ t2－ 2. ∴ g ( t ) ＝ t2－ 2  t 0 － 2  0 ≤ t ≤ 1 t2－ 2 t － 1  t 1  (2) g ( t ) 的图像如图所示： ∴ g ( t )m in＝－ 2. [ 方法总结 ] 影响二次函数在闭区间上的最大值与最小值的要素和求法： ( 1) 最值与抛物线的开口方向、对称轴位置、闭区间三个要素有关； ( 2) 常结合二次函数在该区间上的单调性或图像求解，在区间的端点或二次函数图像的顶点处取得最值． 提醒： 当开口方向或对称轴位置或区间不确定时要分情况讨论． ( 文 ) 已知函数 f ( x ) ＝ x2＋ 2 ax ＋ 2 ， x ∈ [ － 5,5] ． ( 1) 当 a ＝－ 1 时，求函数 f ( x ) 的最大值和最小值； ( 2) 求实数 a 的取值范围，使 y ＝ f ( x ) 在区间 [ － 5,5] 上是单调函数． [ 解析 ] ( 1) 当 a ＝－ 1 时， f ( x ) ＝ x2－ 2 x ＋ 2 ＝ ( x － 1)2＋ 1 ， x∈ [ － 5,5] ， ∵ f ( x ) 的对称轴为 x ＝ 1 ， ∴ x ＝ 1 时， f ( x ) 取最小值 1 ； x ＝－ 5 时， f ( x ) 取最大值 37. ( 2) f ( x ) ＝ x2＋ 2 ax ＋ 2 ＝ ( x ＋ a )2＋ 2 － a2的对称轴为 x ＝－ a ， ∵ f ( x ) 在 [ － 5,5] 上是单调函数， ∴ － a ≤ － 5 ，或－ a ≥ 5 ， 所以实数 a 的取值范围是 a ≤ － 5 ，或 a ≥ 5. ( 理 ) 已知函数 f ( x ) ＝ 4 x2－ 4 ax ＋ a2－ 2 a ＋ 2 在区间 [ 0,2] 上有最小值 3 ，求 a 的值． [ 解析 ] ∵ f ( x ) ＝ 4x －a22－ 2 a ＋ 2. ① 当a2≤ 0 ，即 a ≤ 0 时，函数 f ( x ) 在 [ 0,2] 上是增加的， ∴ f ( x )m in＝ f ( 0) ＝ a2－ 2 a ＋ 2. 由 a2－ 2 a ＋ 2 ＝ 3 ，得 a ＝ 1177。 2 ， ∵ a 0 ， ∴ a ＝ 1 － 2 . ② 当 0a22 ，即 0 a 4 时， f ( x )m in＝ fa2＝－ 2 a ＋ 2. 由－ 2 a ＋ 2 ＝ 3 得 a ＝－12∉ ( 0,4) 舍去． ③ 当a2≥ 2 ，即 a ≥ 4 时，函数 f ( x ) 在 [ 0,2] 上是减少的， f ( x )m in＝ f ( 2) ＝ a2－ 10 a ＋ 18 ， 由 a2－ 10 a ＋ 18 ＝ 3 得 a ＝ 5177。 10 ， ∵ a ≥ 4 ， ∴ a ＝ 5 ＋ 10 ， 综上所述， a ＝ 1 － 2 或 a ＝ 5 ＋ 10 . 一元二次方程根的分布问题 已知关于 x 的方程 ( m ＋ 3) x2－ 4 mx ＋ 2 m － 1 ＝ 0 的两根异号，且负根的绝对值比正根大，求实数 m 的取值范围． [ 思路分析 ] 在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图像数形结合来解，一般从四个方面分析： ①开口方向； ② 对称轴位置； ③ 判别式； ④ 端点函数值符号 ． [ 规范解答 ] 解法 1 ：设方程 ( m ＋ 3) x2－ 4 mx ＋ 2 m － 1 ＝ 0的两根分别为 x1， x2， 由题意知 Δ ＝ 16 m2－ 4  m ＋ 3  2 m － 1  0 ， ①x1＋ x2＝4 mm ＋ 30 ， ②x1x2。