章末归纳总结4

章末归纳总结4内容摘要：

2 |或 1 ＋ 1k2| y 1 － y 2 |，这对直线和圆相交也成立，但直线和圆相交所得弦的弦长更常使用垂径定理和勾股定理求得 ． 专题三 与圆有关的最值问题 与圆有关的最值问题包括： (1) 求圆 O 上一点到圆外一点 P的最大距离、最小距离： dm ax＝ | OP |＋ r ， dm in＝ | OP |－ r ； (2) 求圆上的点到某条直线的最大距离、最小距离，设圆 心到直线的距离为 m ，则 dm ax＝ m ＋ r ， dm in＝ m － r ； (3) 已知点的运动轨迹是 ( x－ a )2＋ ( y － b )2＝ r2，求 ① mx ＋ ny ， ②y － nx － m， ③ ( x － m )2＋ ( y － n )2等式子的最值 ． 一般地，形如 z ＝ mx ＋ ny 的最值问题，可以转化为动直线的截距的最值问题；形如 k ＝y － nx － m的最值问题，可以转化为动直线的斜率的最值问题；形如 d ＝ ( x － m )2＋ ( y － n )2的最值问题，可以转化为两点间的距离的平方的最值问题 ． 已知实数 x， y满足方程 x2＋ y2－ 4x＋ 1＝ 0. (1) 求yx的最大值和最小值； (2) 求 y － x 的最小值； (3) 求 x2＋ y2的最大值和最小值 ． [ 解析 ] (1) 原方程可化为 ( x － 2)2＋ y2＝ 3 ，表示以点 (2,0) 为圆心，半径为 3 的圆 ． 设yx＝ k ，即 y ＝ kx ，当直线 y ＝ kx 与圆 ( x － 2)2＋ y2＝ 3 相切时，斜率 k 取得最大值和最小值，此时有|2 k － 0|k2＋ 1＝ 3 ，解得 k＝ 177。 3 故yx的最大值为 3 ，最小值为－ 3 . (2) 设 y － x ＝ b ，即 y ＝ x ＋ b ，当 y ＝ x ＋ b 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值和最小值，此时|2 － 0 ＋ b |2＝ 3 ，即 b ＝－ 2177。 6 .故 ( y － x )m ax＝－ 2 ＋ 6 ， ( y － x )m in＝－ 2 － 6 . (3) x2＋ y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值 ． 又知圆心到原点的距离为 2 ，故。