高三数学曲线与方程及圆锥曲线

高三数学曲线与方程及圆锥曲线内容摘要：

A,B在圆 x2+y2=3上，且 λ≠177。 1, • 所以 • 即 x+3y=3,所以点 Q总在定直线 x+3y=3上 . • 掌握求定值定点问题的常用方法，这也是高考数学命题的方向之一，应引起注意 . 2 2 2 212 ( 1 ) ,x x x  2 2 2 212 3 ( 1 ) ,y y y  2211xy 22xy2 2 2 21 1 2 23 , 3x y x y    ，• 若 M， N是椭圆 • (ab0)上关于原点对称的两个点，点 P是椭圆上任一点，当直线 PM， PN的斜率都存在，并记为 kPM,kPN时，求证： kPM与 kPN之积是与点 P位置无关的定值 . 变式练习 22222 1xyab• 设点 P(x,y)，若 M的坐标为 (m,n)，点 N的坐标为 (m,n)， • 其中 由 • 所以 kPMkPN= • 将代入上式得： • kPMkPN= 为定值，得证 . 2222 1mnab ，PM PNy n y nkkx m x m ， ，2222y n y n y nx m x m x m     ，222 2 2 2 2 2bby b x n b maa   ，22ba• 重点突破：圆锥曲线中的存在性问题 • 已知两点 M(2,0)， N(2,0)，平面上动点 P满足 • (Ⅰ )求动点 P的轨迹 C方程 . • (Ⅱ )如果直线 x+my+4=0(m∈ R)与曲线 C交于 A， B两点，那么在曲线 C上是否存在点 D，使得△ ABD是以 AB为斜边的直角三角形。 若存在，求出 m的取值范围；若不存在，请说明理由 . 例 3 N M P M N N P• (Ⅰ )利用直接法，可求得点 P的轨迹方程 .(Ⅱ )联立直线和曲线的方程，利用韦达定理，结合假设存在，则有 • =0，可判断成立与否 . • (Ⅰ )设点 P(x,y)， • 由 • 得 化简得 y2=8x为点 P的轨迹方程 . DA DB 0,M N M P M N M P   24 2 2 4 8 0x y x      ，• (Ⅱ )设直线 x+my+4=0与曲线 C交于点A(x1,y1)， B(x2,y2)， • x+my+4=0 • y2=8x • 所以 Δ=64m24 320，即 m22, • 则 y1+y2=8m， y1y2=32，且 • 若存在点 D满足条件，可设 D（ ,t）， • 因为△ ABD是以 AB为斜边的直角三角形，所以 由 得： y2+8my+32=0， 22121288yyxx， ，28t 0D A D B  ，• 即 • +(y1t)(y2t)=0, • 因为 y1≠t， y2≠t，所以 (y1+t)(y2+t)+64=0 • 所以 t28mt+96=0, • 所以 Δ=64m24 96≥0，所以 m2≥6, • 当 m≥ 或 m≤ 时，存在点 D使得△ ABD是以 AB为斜边的直角三角形 , • 又 m2＞ 2，所以当 ＜ m＜ 或 ＜ m＜ 时，满足条件的点 D不存在 . 221 2 1 288ttx x y t y t     （ ） （ ） （ ） （ ）2222128 8 8 8yytt（ ） （ ）， 6 6662 2• 本题主要考查求曲线方程，直线与圆锥曲线的位置关系，垂直问题，以及推理能力和运算能力，探究能力和向量法，以及“设而不求”，对于 (1)根据题目给定条件直接可求得；对于 (2)先假设存在，用“设而不求”研究直线与圆锥曲线的位置关系，关键是构造一元二次方程，应用根与系数的关系解题 . 变式练习 3• 已知定点A(a,0)(a0)， B为 x轴负半轴上的动点，以AB为边作菱形 ABCD，使其两对角线的交点恰好落在 y轴上 . (Ⅰ )求动点 D的轨迹 E的方程； (Ⅱ )过点 A作直线 l与轨迹 E交于 P、 Q两点，设点 R(a,0)，当 l绕点 A转动时，证明 ∠ PRQ是否可以为钝角。 请给出结论，并加以证明 . • (Ⅰ )设 D(x,y). • 因为 A（ a,0），由 ABCD为菱形，且 AC、BD的交点在 y轴上，所以 B、 C两点的坐标分别为 (x,0)、 (a,y). • 由 AC⊥ BD，得 =(2x,y)(2a,y)=4axy2=0，即 y2=4ax. • 因为 ABCD为菱形，所以 x≠0， • 故轨迹 E的方程为 y2=4ax(x≠0). BD CA• (Ⅱ )∠ PRQ不可能为钝角，即 ∠ PRQ≤ • 90176。 .证明如下： • ① 当 PQ⊥ x轴时， P、 Q点的坐标为 (a,17。