考研数学20xx高分必看：各种题型经典归类总结2528考试点

考研数学20xx高分必看：各种题型经典归类总结2528考试点内容摘要：

画出 12,DD图形，得：    481 4 2,yyyI d y f x y d x d y f x y d x    【例 5】更换积分次序  2 s in00 , xI dx f x y dy  解：    1 a r c s in 0 2 a r c s in0 a r c s in 1 a r c s in, , yyI d y f x y d x d y f x y d x      【例 6】更换积分次序  2 c o s204 ,aI d f d       解：如改为先  后  则有下列两点技巧 ① D 的边界曲线全都用极坐标表示 ② 若以原点 o 为圆心的一系列同心圆与 y 区域 D 的边界曲线中的不同曲线相交，则应在交点处用逆时针园弧线 2a 把  的区间分为两个正规区域： 12a r c c o s a r c c o s a r c c o s2 2 2 2 0 2 2 2a a aDDa a a               2 c o s 2 c o s2202 c o s42,a a r c a a r caa a a r c aI d f d d f d           三、换元法技巧 以尽可能简便 D 为出发点，再参考  ,f x y z 的特征。 如球对称用球坐标，锥体用柱坐标等，微分元换算利用雅可比行列式。         , [ , , , ],D D xyf x y dx dy f x u v y u v du dvuv            , , [ , , , , , ] ,x y zf x y z dx dg dz f x u v w u v w du dv dwu v w    其中雅可比矩阵      , 1,xxxy uvuvyyuvuv xy    ■ 题型二 关于对称性题法 【例 7】 1D :12211 1 , 2 2 , ( )Dx y I x y dx dy        2D :2222 0 1 , 0 2 , ( )Dx y I x y dx dy      解： f 为偶函数数， 1D 关于 ,xy都对称， 2D 正好是 1D 的 14，故 2 2 22 1 2 12 2 2 2 2 2120 0 0 04 ( ) 4D D DI I x y d x d y x d x d y y d x d y d y x d x y d y d x              【例 8】计算 DI xydxdy          222 2 2 2 2 2121 : 2 2 : 2D x y x y D x y x y     解：（ 1） D 关于 ,xy对称  ,f x y xy 关于 ,xy都是奇数 0DI xydxdy   （ 2） D 关于原点对称，          , , , ,f x y x y f x y x y f x y      为偶函数，故  ,2D Df x y d xyd  320 s i n 22 s i n c o s0d r d r     =16 【例 9 】 设区域 D 由 3 , 1, 1y x y x   所 围 ， 试 计 算22[1 ( ) ]DI x yf x y d   解：作辅助线 3yx ，则 D 分为 12DD和。 显然， 1D 关于 X 轴对称， 2D关于 Y 轴对称。 123312 2 2 201[ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ]2 5DDxxDI x y f x y d x y f x y dx d x dx dy             【例 10】 计算 22( 2 s in 4 4 )DxyI x y dpq      2 2 2:D x y a 解：由于 D 关于 X， Y 轮换对称性，故 22( 2 s in 4 4 )DxyI x y dpq      中被积函数又可以轮换，积分值不变 又由于 D 关于 X， Y 轴均对称，故 2 sin 0D xd 40D yd 2 2 2 22 2 222200421( ) 421 1 1 ( ) ( ) 421 1 1 ( ) 4211 ( ) 44DDDax y y xI d dp q p qx y d apqr d r apqaapq             【例 11】设二元函数  222, 1, 1 , 1 2x x yf x y xyxy      ， 计算二重积分 ,D f x y d ，其中   , | 2D x y x y  。 解：记   1 , | 1D x y x y  ， 21D D D       12122221 1 2 2 1 122 2 2 20 0 0 0 0 0, , ,1114414 2 l n 2 13D D DDDy x xf x y d f x y d f x y dx d dxyx dx dy dx dy dx dyx y x y                    【例 12】计算    ,DI a f x y dxdy ，其中：    22 , 0 ,: 0 , ,0 , x x a y aD x y ax a f x y othe r       ，求   201lim1 c o s ln 1Iaaeaa。 解： D 关于 x 轴对称，  ,f xy 关于 y 是偶函数，则      1c os20 0 0 03 3 33 4 3 3203320 0 0222 2 c os2 2 3 1c os3 3 4 2 2 81 8l i m l i m l i m 211 41 c os l n 1l n 122a a aDIaa a aI a x dx dy x dx dy d r rdra a aa d a aaaIaeaa a a a a                          ■ 题型三 关于极坐标题法 陈氏第 14 技 能否使用极坐标主要由被积函数的特点决定，而不是由区域特点所决定；使用极坐标方式有两种： 1 原位法 ：cos sinxryy  或 2 平移法 ： 00cossinx x ry y y  ，选择的原则是使被积函数容易积出， 一般来说，被积函数具有  22f x y 或  mnf x y 形式时，使用极坐标会大大简化计算。 如果选择不当会使积分求解复杂。 ● 常用结论 2 2 22204 c o s s in20 当 和 没 有 一 个 为 奇 数 当 和 至 少 有 一 个 为 奇 数mn mnmnx y aa d m nxy mnmn     【例 13】计算 a  2212 2210 1 1xxxI d x x y d y b    2220 4 2 42 2 2 222 0 2xxx x xI d x x y d y d x x y d y         c 设  , f x y 在单位圆上有连续的偏导数，且在边界上为零，试证明：  2 2 2 220 110 , 0 l im 2 xyxyx f y ff dx dyxy     解： a 积分区域为：2201:1 1 2xDx y x x     显然本题适合用原点极坐标， 22c o s 1 1 2 sin 2 , sin 42 2 c o sx r y x ryr y x x r                交 点 坐 标 由对称性 ⑤ 知： 122 s in2 3 4441 0 0 02 2 8 si nDI r rd r d r d r d         244001 c os 2 1 c os 4 1 38 2 1 2 c os 2 8 2 2 4 8dd                          b 积分区域为： 2220220:244xxDx x y xx y x                2220 4 2 4 c os2 2 2 22 s in2 0 23 44222 2 2 24 2 20 2 c os0 0 2 c os 02420||4 4 43 1 94 1 c os 42 4 2 2 4 xx xryrx x xI dx x y dy dx x y dyrrd r rdr d r rdr dd                                       c 使用原点极坐标， cosxr ， sinyr  2 2 22 2 2001102210000si n si n11l i m l i m2211l i m l i m c os , si n22 x y x y x yxyrxyffc os f f r rc os f r f x f y frrfrx f y frdx dy rdrdx y rfd dr f r rr                                     1220001l i m。