数学毕业论文_泰勒公式及其应用(编辑修改稿)

数学毕业论文_泰勒公式及其应用(编辑修改稿)内容摘要：

证： ( , )c ab ，使得 31( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 )2 2 4abf b f a f b a f c b a      分析 这与泰勒公式有一定的差别，我们分析其差别可以找到问题解决的途径 . 式 （ 1）中有导数项 ()2abf  ，这就使我们以为，要用泰勒公式去解决此问题 时，必须将函数 ()fx 在0 2abx  处展开，而取 xa 或 b 有望处理（ 1） 项中的三项，只剩一项三阶导数项留待处理 .这样，我们便有 [ , ]x a b ， 232 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( 2 )2 2 2 2 ! 2 2 3 ! 2a b a b x a b a b x a b x a bf x f f f f               分别取 ,x a b ，得 23 1111( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , . ( 3 )2 2 2 2 ! 2 2 3 ! 2 2a b a b b a a b b a b a a bf a f f f f a              22( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , . ( 4 )2 2 2 2 ! 2 2 3 ! 2 2a b a b b a a b b a b a a bf b f f f f b              由式（ 3）、式（ 4）得 23223111( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ]2 2 2 2 ! 2 2 3 ! 211[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ]2 2 2 2 ! 2 2 3 ! 21( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2 2 2 2 2 2 2 ! 2a b a b b a a b b a b af b f a f f f fa b a b b a a b b a b af f f fa b a b a b b a a b b a a b b af f f f f                                  22 3 321312312)21 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 ! 2 2 3 ! 2 3 ! 212 ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]2 2 3 ! 2()( ) ( ) [ ( ) ( ) ]2 4 8a b b a b a b af f fa b b a b af f fa b b af b a f f                  312()( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] . ( 5 )2 48a b b af b f a f b a f f        新疆师范大学 2020届本科毕业生毕业论文（设计） 7 显然 ， 12( ) ( )2ff  在 1()f  与 2()f  之间 . 由导数的介值定理知 12( , ) ( , )c a b  使得 12 12( ) ( )( ) 2 ( ) ( ) ( ) . ( 6)2fff c f c f f         代入式 （ 5） 33()( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )2 4 81( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 4a b b af b f a f b a f cabf a f b a f c b a          即得证 . 例 ()fx 在区间 [0,2] 上二阶可导，且在 [0,2] 上有 ( ) 1fx ， ( ) 1fx  ，求证： 在 [0,2] 上 有 ( ) 2fx  . 分析 这里涉及到 ()fx 的一阶，二阶及函数本身的关系问题，这类问题借助于泰勒公式处理较为方便 .由于问题中 ()fx 具有二阶可导性，可以用带拉格朗日型余项的泰勒公式 .注意到拉格朗日型泰勒公式成立的范围： x 可以取到闭区间的端点 . 这样就有 0 [0, 2]x ， [0, 2]x 时， 20 0 0 0()( ) ( ) ( ) ( ) ( )2!ff x f x f x x x x x    ，  在 x ， 0x 之间 .取 0,2x 得 20 0 0 1 01( 0 ) ( ) ( ) ( )2!f f x f x x f x   ， 100 x.（ 1） 20 0 0 2 01( 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 )2!f f x f x x f x     ， 022x  .（ 2） 由式（ 1）与式（ 2）得 220 0 0 2 0 0 0 0 1 0220 0 0 0 0 0 2 0 1 0220 2 0 1 011( 2 ) ( 0 ) [ ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ] [ ( ) ( ) ( ) ]2 ! 2 !11( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( )2 ! 2 !12 ( ) [ ( ) ( 2 ) ( ) ]2f f f x f x x f x f x f x x f xf x f x f x x f x x f x f xf x f x f x                           220 1 0 2 012 ( ) ( 2 ) ( 0 ) [ ( ) ( ) ( 2 ) ] . ( 3 )2f x f f f x f x        利用三角不等式式（ 3）即可得之 . 关于估计中的应用 在实际的数值计算中 ，参与运算的数据往往都是些近似值，带有误差 .这些数据误差在多次运算过程中会进行传播，使计算结果产生误差 .而确定计算结果所能达到的精度 ，显然是十分重要的，但这往往也是件很困难的事 .不过，我们对计算误差做出一定新疆师范大学 2020届本科毕业生毕业论文（设计） 8 的定量估计还是可以做到的 .这里介绍一种常用的误差估计的一般公式，它是利用函数的泰勒展开的到的 . 先从较简。