初中数学竞赛练习题(编辑修改稿)

初中数学竞赛练习题(编辑修改稿)内容摘要：

. （ A） 1 （ B） 2 （ C） 3 （ D） 4 （ 2）若 n 是大于 1 的整数，则 的值（ ） . （ A）一定是偶数 （ B）必然是非零偶数 （ C）是偶数但不是 2 （ D）可以是偶数，也可以是奇数 （ 3）已知关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c（ a、 b、 c 为整数），如果当 x=0 与 x=1 时，二次三项式的值都是奇数，那么 a（ ） （ A）不能确定奇数还是偶数 （ B）必然是非零偶数 （ C）必然是奇数 （ D）必然是零 3.（ 1986 年宿州竞赛题）试证明 11986+91986+81986+61986是一个偶数 . 0 到 9 十个不同的数字组成一个能被 11 整除的最小十位数 . n 个整数，共积为 n，和为零，求证：数 n 能被 4 整除 n 边形内，任意给出有限个点，在这些点之间以及这些点与凸 n 边形顶点之间，用线段连续起来，要使这些线段互不相交，而且把原凸 n 边形分为只朋角形的小块，试证这种小三我有形的个数与 n 有相同的奇偶性 . 7.（ 1983 年福建竞赛题）一个四位数是奇数，它的首位数字泪地其余各位数字，而第二位数字大于其它各位数字，第三位数字等于首末两位数字的和的两倍，求这四位数 . 8.（ 1909 年匈牙利竞赛题）试证： 3n+1 能被 2 或 22整除，而不能被 2 的更高次幂整除 . 9.（全俄 15 届中学生数学竞赛题）在 1， 2， 3„ ， 1989 之间填上 “+” 或 “ ” 号，求和式可以得到最小的非负数是多少。 练习 参考答案 １．（１）３０．（最小两位奇数是１１，最大数与最小数同为奇数） （２）１８０．设第一个偶数为ｘ，则后面四个衣次为ｘ＋２，ｘ＋４，ｘ＋６，ｘ＋８． （３）不能． ２．Ｂ．Ｂ．Ａ ３．１ １９８６ 是奇数１，９ １９８６ 的个位数字是奇数１，而８ １９８６ ，６ １９８６ 都是偶数，故最后 为偶数． ４．仿例５ １２０３４６５８７９． ５．设ａ １ ，ａ ２ ， „ ，ａ ｎ 满足题设即ａ １ ＋ａ ２ ＋ „ ＋ａ ｎ ＝０ ① ａ １ ａ ２ „„ ａ ｎ ＝ｎ ②。 假如ｎ为奇数，由 ② ，所有ａ ｉ 皆为奇数，但奇数个奇数之和为奇数，故这时 ① 不成立，可见ｎ只能为偶数．由于ｎ为偶数，由 ② 知ａ ｉ中必有一个偶数，由 ① 知ａ ｉ 中必有另一个偶数．于是ａ ｉ 中必有两个偶数，因而由② 知ｎ必能被４整除． ６．设小三角形的个数为ｋ，则ｋ个小三角形共有３ｋ条边，减去ｎ边形的ｎ条边及重复计算的边数扣共有 （３ｋ＋ｎ）条线段，显然只有当ｋ与ｎ有相同的奇偶性时， （３ｋ－ｎ）才是整数． ７．设这个四位数是 由于１ ≤ ａ＜ｄ，ｄ是奇数所以ｄ ≥ ３于是ｃ＝２（ａ＋ｄ） ≥ ８，即ｃ＝８或ｃ＝９．因ｃ是偶数，所以ｃ＝８，由此得ａ＝１，ｄ＝３．又因ｂ＞ｃ，所以ｂ＝９因此该数为１９８３． ８．当ｎ为奇数时，考虑（４－１） ｎ ＋１的展开式；当ｎ为偶数时，考虑（２＋１）ｎ ＋１的展开式． ９．除９９５外，可将１，２， „ ，１９８９所有数分为９９４对：（１，１９８９）（２，１９８８） „ （９９４，９９６）每对数中两个数的奇偶性相同，所以在每对数前无论放置 “ ＋ ” ， “ － ” 号，运算结果只能是偶数．而９９５为奇数，所以数１，２， „ ，１９８９的总值是奇数，于是所求的最小非负数不小于１，数１可用下列方式求得： １＝１＋（２－３－４＋５）＋（６－７－８＋９）＋ „ ＋（１９８６－１９８７－１９８８＋１９８９）． 竞赛讲座 02 －整数的整除性 1． 整数的整除性的有关概念、性质 （ 1） 整除的定义：对于两个整数 a、 d（ d≠0 ），若存在一个整数 p，使得 成立，则称 d 整除 a，或 a 被 d 整除，记作 d|a。 若 d 不能整除 a，则记作 d a，如 2|6， 4 6。 （ 2） 性质 1） 若 b|a，则 b|(a)，且对任意的非零整数 m 有 bm|am 2） 若 a|b， b|a，则 |a|=|b|。 3） 若 b|a， c|b，则 c|a 4） 若 b|ac，而（ a， b） =1（（ a， b） =1 表示 a、 b 互质，则 b|c； 5） 若 b|ac，而 b 为质数，则 b|a，或 b|c； 6） 若 c|a， c|b，则 c|（ ma+nb），其中 m、 n 为任意整数（这一性质还可以推广到更多项的和） 例 1 （ 1987 年北京初二数学竞赛题） x， y， z 均为整数，若 11｜（ 7x+2y5z），求证： 11｜（ 3x7y+12z）。 证明 ∵4(3x 7y+12z)+3(7x+2y5z)=11(3x2y+3z) 而 11｜ 11(3x2y+3z), 且 11｜ (7x+2y5z), ∴ 11｜ 4(3x7y+12z) 又 (11,4)=1 ∴ 11｜ (3x7y+12z). (1) 利用数的整除性特征（见第二。