高考理科数学离散型随机变量的期望与方差复习资料(编辑修改稿)

高考理科数学离散型随机变量的期望与方差复习资料(编辑修改稿)内容摘要：

A3) ＝ P ( A1) P ( A2) P ( A3) ＝15( 1 － p )( 1 － q ) ＝6125， P ( ξ ＝ 3 ) ＝ P ( A1 A2 A3) ＝ P ( A1) P ( A2) P ( A3) ＝45pq ＝24125， 整理得 ， pq ＝625， p ＋ q ＝ 1. 注意到 p q ， 故可解得 p ＝35， q ＝25. 26 (3) 由题意知， a ＝ P ( ξ ＝ 1) ＝ P ( A1 A2 A3＋ A1 A2 A3＋ A1 A2 A3) ＝45(1 － p )(1 － q ) ＋15p (1 － q ) ＋15(1 － p ) q ＝37125； 27 b ＝ P ( ξ ＝ 2 ) ＝ P ( A1 A2 A3＋ A1 A2 A3＋ A1 A2 A3) ＝45 p ( 1 － q ) ＋45 ( 1 － p ) q ＋15pq ＝58125， ( 或者 b ＝ 1 －6125－24125－ a ＝58125) 则 E ξ ＝ 0 6125＋ 1 a ＋ 2 b ＋ 3 24125＝95. 28 题型 3 利用分解与合成原理求数学期望 • 3. 甲、乙两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，甲队队员是 A1， A2， A3，乙队队员是 B1， B2， ，对阵队员之间胜负概率如下： A1胜 B1的概率为 ， A2胜 B2的概率为 ， A3胜 B3的概率为 ，按上述对阵方式出场，每场比赛胜队得1分，负队得 0分，设甲、乙两队最后所得总分分别为 ξ、 η，求 Eξ、 Eη. 23252529 • 解法 1： 根据题意， ξ的可能取值为 3， 2， • 1， 0，且 ξ+η=3. • 所以 2 2 2 8( 3 )3 5 5 752 2 3 2 3 2 1 2 2 28( 2 )3 5 5 3 5 5 5 5 5 752 3 3 1 2 3 1 3 2 30( 1 )3 5 5 3 5 5 3 5 5 751 3 3 9( 0 ) .3 5 5 75PPPP                            ，，8 2 8 3 0 9 1 1 0 2 23 2 1 0 .7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 1 5E           30 • 因为 η=ξ+3， • 所以 • 解法 2： 设甲队队员 Ai(i=1， 2， 3) • 每场的得分为 ξi， • 则 ξ=ξ1+ξ2+ξ3. • 因为 ξ1的可能取值为 1， 0， • 且 2 2 2 33 3 .1 5 1 5EE     1121( 1 ) ( 0 )33PP   ， ，31 • 所以 • 同理 • 所以 12 1 21 0 .3 3 3E      22 3 2105 5 5E       ，32 3 2105 5 5E       .1 2 3 1 2 3()2 2 2 22.3 5 5 1522 23( 3 ) 3 3 .15 15E E E E EE E E                      32 • 点评： 如果两个随机变量 ξ、 η满足一定的关系式： η=aξ+b，则E(aξ+b)=aEξ+b，利用这个公式可方便快捷地求相关随机变量的期望 . 33 • 某先生居住在城镇的 A处， • 准备开车到单位 B处上班 . • 若该地各路段发生堵车事 • 件都是独立的，且在同一 • 路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图 (例如： A→ C→ D算作两个路段，其中路段 AC、 CD发生堵车事件的概率分别为 ).若记路线 A→ C→ F→ B中遇到堵车次数为随机变量 ξ，求 ξ的数学期望 Eξ. 1110 15，34 • 解： 设 ξ ξ ξ3分别为路段 AC、 CF、 FB中遇到堵车的次数，则其可能取值都为 1，0，且 ξ=ξ1+ξ2+ξ3. • 因为 • 所以 1231 9 11010 10 103 17 31020 20 201 11 11012 12 12EEE            ，，1 2 3 1 2 3()1 3 1 1.10 20 12 3E E E E E              35 • 1. 对离散型随机变量的期望应注意： • (1)期望是算术平均值概念的推广 ， 是概率意义下的平均 . • (2)Eξ是一个实数 ， 由 ξ的分布列唯一确定 ， 即作为随机变量 ξ。