高考数学空间向量及其应用(编辑修改稿)

高考数学空间向量及其应用(编辑修改稿)内容摘要：

页 转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。 即利用动点是定曲线 上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。 几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。 参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y 联系起来，得到用参数表示的方程。 如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。 2．圆锥曲线综合问题 （ 1）圆锥曲线中的最值问题、范围问题 通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。 这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等 式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。 解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。 圆锥曲线的弦长求法： 设圆锥曲线 C∶ f(x， y)=0 与直线 l∶ y=kx+b 相交于 A(x1， y1)、 B(x2， y2)两点，则弦长 |AB|为： 若弦 AB 过圆锥曲线的焦 点 F，则可用焦半径求弦长， |AB|=|AF|+|BF|． 在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标 (x， y)的取值范围。 （ 2）对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题 它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法。 （ 3）实际应用题 数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入，同时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以及行星、人造卫星 、彗星运行轨道的计算等。 涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是： 实际问题 模型的解 数学模型方程 讨论方程的解 翻译回去 建立坐标系 转化成数学问题 （ 4）知识交汇题 第 13 页 共 34 页 圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强区分度的综合题。 四．典例解析 题型 1：求轨迹方程 例 1．（ 1） 一动圆与圆 22 6 5 0x y x   外切，同时与圆 22 6 91 0x y x   内切，求动圆圆心 M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。 （ 2） 双曲线 2 2 19x y有动点 P ， 12,FF是曲线的两个焦点，求 12PFF 的重心 M的轨迹方程。 解析：（ 1）（法一）设动圆圆心为 ( , )Mx y ，半径为 R ，设已知圆的圆心分别为 1O 、2O ， 将圆方程分别配方得： 22( 3) 4xy  ， 22( 3) 100xy   ， 当 M 与 1O 相切时，有 1| | 2O M R ① 当 M 与 2O 相切时，有 2| | 10O M R ② 将 ① ② 两 式 的 两 边 分 别 相 加 ， 得21| | | | 12O M O M， 即 2 2 2 2( 3 ) ( 3 ) 1 2x y x y      ③ 移项再两边分别平方得： 222 ( 3 ) 1 2x y x    ④ 两边再平 方得： 223 4 108 0xy  ， 整理得 22136 27xy， 所以，动圆圆心的轨迹方程是 22136 27xy，轨迹是椭圆。 （法二）由解法一可得方程 2 2 2 2( 3 ) ( 3 ) 1 2x y x y     ， 由以上方程知，动圆圆心 ( , )Mx y 到点 1( 3,0)O 和 2(3,0)O 的距离和是常数 12 ，所以点 M 的轨迹是焦点为 1( 3,0)O 、 2(3,0)O ，长轴长等于 12 的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上， ∴ 26c ， 2 12a ，∴ 3c ， 6a ， ∴ 2 36 9 27b    ， ∴圆心轨迹方程为 22136 27xy。 （ 2） 如图，设 ,PM点坐标各为 11( , ), ( , )P x y M x y， ∴ 在已知双曲线方程中x y 1O 2O P 第 14 页 共 34 页 3, 1ab， ∴ 9 1 10c    ∴ 已知双曲线两焦点为 12( 1 0 , 0 ), ( 1 0 , 0 )FF ， ∵ 12PFF 存在， ∴ 1 0y 由三角形重心坐标公式有11( 10 ) 103003xxyy     ，即 1133xxyy 。 ∵ 1 0y ， ∴ 0y。 已知点 P 在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有 2 2(3 ) (3 ) 1( 0 )9x yy   即所求重心 M 的轨迹方程为： 229 1( 0)x y y  。 点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；“转移法”求轨迹方程的方法。 例 2． （ 20xx 上海， 3）设 P 为双曲线 42x y2＝ 1 上一动点， O 为坐标原点， M 为线段 OP 的中点，则点 M 的轨迹方程是。 解析：（ 1） 答案： x2－ 4y2＝ 1 设 P（ x0， y0） ∴ M（ x， y） ∴ 2,2 00 yyxx  ∴ 2x＝ x0， 2y＝ y0 ∴ 442x － 4y2＝ 1 x2－ 4y2＝ 1 点评：利用中间变量法（转移法）是求轨迹问题的重要方法之一。 题型 2：圆锥曲线中最值和范围问题 例 3．（ 1） 设 AB 是过椭圆 xa yb a b2222 1 0   ( )中心的弦，椭圆的左焦点为F c1 0( ) ， ，则△ F1AB 的面积最大为（ ） A. bc B. ab C. ac D. b2 （ 2）已知双曲线 xa yb a b2222 1 0 0   ( )，的左右焦点分别为 F1， F2，点 P 在双曲线的右支上，且 | | | |PF PF1 24 ，则此双曲线的离心率的最大值是（ ） 第 15 页 共 34 页 A. 43 B. 53 C. 2 D. 72 （ 3）已知 A（ 3， 2）、 B（－ 4， 0）， P 是椭圆 x y2 225 9 1 上一点，则 |PA|＋ |PB|的最大值为（ ） A. 10 B. 10 5 C. 10 5 D. 10 2 5 解析：（ 1）如图，由椭圆对称性知道 O 为 AB 的中点，则△ F1OB 的面积为△ F1 AB面积的一半。 又 | |OF c1 ，△ F1OB 边 OF1 上的高为 yB ，而 yB 的最大值是 b，所以△ F1OB的面积最大值为 12cb。 所以△ F1AB 的面积最大值为 cb。 点评：抓住△ F1AB 中 | |OF c1 为定值，以及椭圆是中心对称图形。 （ 2） 解析：由双曲线的定义， 得： | | | |PF PF a1 2 2  ， 又 | | | |PF PF1 24 ，所以 3 22| |PF a ，从而 | |PF a2 23 由双曲线的第二定义可得 | |PFx acca22 ， 所以 x ac532。 又 x a ac a ，即 53 2 ，从而 e ca 53。 故选 B。 点评：“点 P 在双曲线的右支上”是衔接两个定义的关键，也是不等关系 532ac a 成立的条件。 利用这个结论得出关于 a、 c 的不等式，从而得出 e 的取值范围。 第 16 页 共 34 页 （ 3） 解析：易知 A（ 3， 2）在椭圆内， B（－ 4， 0）是椭圆的左焦点（如图），则右焦点为 F（ 4， 0）。 连 PB， PF。 由椭圆的定义知： | | | |PB PF  10， 所以 | | | | | | | | | | | | (| | | | )PB PF PA PB PA PF PA PF        10 10 10，所以。 由平面几何知识， || | | || | |PA PF AF  ，即 (| | | | ) | |m inPA PB AF  10， 而 | | ( ) ( )AF     3 4 2 0 52 2， 所以 (| | | | ) m inPA PB  10 5。 点评：由△ PAF 成立的条件 || | | || | |PA PF AF  ，再延伸到特殊情形 P、 A、 F 共线，从而得出 || | | || | |PA PF AF  这一关键结论。 例 4．（ 1）（ 06 全国 1 文， 21） 设 P 是椭圆  2 22 11x yaa   短轴的一个端点， Q 为椭圆上的一个动点，求 PQ 的最大值。 （ 2） （ 06 上海文， 21）已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为 ( 3,0)F  ,右顶点为 (2,0)D ,设点 11,2A. ① 求 该椭圆的标准方程 ； ② 若 P 是椭圆上的动点，求线段 PA 中点 M 的轨迹方程； 第 17 页 共 34 页 ③过原点 O 的直线交椭圆于点 ,BC，求 ABC 面积的最大值。 （ 3）（ 06 山东文， 21） 已知椭圆的中心在坐标原点 O，焦点在 x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形 为正方形，两准线间的距离为 l。 (Ⅰ )求椭圆的方程； (Ⅱ )直线 l 过点 P(0,2)且与椭圆相交于 A、 B 两点，当Δ AOB 面积取得最大值时，求直线 l 的方程。 解析：（ 1） 依题意可设 P(0,1)， Q(x,y),则 |PQ|= x2+(y－ 1)2 ，又因为 Q 在椭圆上， 所以， x2=a2(1－ y2)， |PQ|2= a2(1－ y2)+y2－ 2y+1=(1－ a2)y2－ 2y+1+a2， =(1－ a2)(y－ 11－ a2 )2－ 11－ a2+1+a2。 因为 |y|≤ 1,a1, 若 a≥ 2, 则 | 11－ a2|≤ 1, 当 y= 11－ a2时 , |PQ|取最大值 a2 a2－ 1a2－ 1 ， 若 1a 2,则当 y=－ 1 时 , |PQ|取最大值 2。 （ 2）① 由已知得椭圆的半长轴 a=2,半焦距 c= 3 ,则半短轴 b=1， 又椭圆的焦点在 x 轴上 , ∴ 椭圆的标准方程 为 14 22 yx。 ②设线段 PA 的中点为 M(x,y) ,点 P 的坐标是 (x0,y0)， 由 x=210x 得 x0=2x－ 1 y=2210y y0=2y－21 由 ,点 P 在椭圆上 ,得 1)212(4 )12( 22  yx ， ∴ 线段 PA 中点 M 的轨迹方程是 1)41(4)21( 22  yx。 ③当直线 BC 垂直于 x 轴时 ,BC=2,因此 △ ABC 的面积 S△ ABC=1。 当直线 BC 不垂直于 x 轴时 ,说该直线方程为 y=kx,代入 14 22 yx , 第 18 页 共 34 页 解得 B(1422 k,1422 kk),C(－1422 k,－1422 kk)， 则224114 kkBC ,又点 A 到直线 BC 的距离 d=2121kk ， ∴ △ ABC 的面积 S△ ABC=2411221kkdAB。 于是 S△ ABC=14 4114 144 222  k kk kk。 由1442kk≥－ 1,得 S△ ABC≤ 2 ,其中 ,当 k=－21时 ,等号成立。 ∴ S△ ABC的最大值是 2。 （ 3） 解：设椭圆方程为 22 1( )xy abcab    （Ⅰ）由已知得22 2 22 4bcaca b c 222211abc  ∴所求椭圆方程为 2 2 12x y。 （ Ⅱ ） 解 法 一 ： 由 题 意 知 直 线 l 的 斜 率 存 在 ， 设 直 线 l 的方程为1 1 2 22 , ( , ) , ( , )y k x A x y B x y 由 2。