高考数学正余弦定理及应用复习资料(编辑修改稿)

高考数学正余弦定理及应用复习资料(编辑修改稿)内容摘要：

理判断三角形形状 例 11．（ 20xx 上海春， 14）在△ ABC 中，若 2cosBsinA＝ sinC，则△ ABC 的形状一定是（ ） 第 10 页 共 24 页 答案： C 解析： 2sinAcosB＝ sin（ A＋ B）＋ sin（ A－ B）又∵ 2sinAcosB＝ sinC， ∴ sin（ A－ B）＝ 0，∴ A＝ B 点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径。 例 12．（ 06 安徽理， 11） 如果 1 1 1ABC 的三个内角的余弦值分别等于 2 2 2ABC 的三个内角的正弦值，则（ ） A． 1 1 1ABC 和 2 2 2ABC 都是锐角三角形 B． 1 1 1ABC 和 2 2 2ABC 都是钝角三角形 C． 1 1 1ABC 是钝角三角形， 2 2 2ABC 是锐角三角形 D． 1 1 1ABC 是锐角三角形， 2 2 2ABC 是钝角三角形 解析： 1 1 1ABC 的三个内角的余弦值均大于 0，则 1 1 1ABC 是锐角三角形， 若 2 2 2ABC 是锐角三角形，由2 1 12 1 12 1 1s i n co s s i n ( )2s i n co s s i n ( )2s i n co s s i n ( )2A A AB B BC C C         ，得212121222AABBCC   ， 那么，2 2 2 2A B C   ，所以 2 2 2ABC 是钝角三角形。 故选 D。 点评：解决此类问题时 要结合三角形内角和的取值问题，同时注意实施关于三角形内角的一些变形公式。 题型 7：正余弦定理的实际应用 例 13．（ 06 上海理， 18） 如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 30  ，相距 10海里 C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援（角度精确到 1 ）。 解析： 连接 BC,由余弦定理得 BC2=202+102北 20 10 A B • •C 第 11 页 共 24 页 － 22010COS120176。 =700. 于是 ,BC=10 7。 ∵710120sin20sin A CB， ∴ sin∠ ACB=73， ∵∠ ACB90176。 ， ∴∠ ACB=41176。 ∴ 乙船应朝北偏东 71176。 方向沿直线前往 B 处救援。 点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过 关。 例 14．（ 06 江西理， 19） 如图，已知△ ABC 是边长为 1 的正三角形， M、 N 分别是 边 AB、 AC 上的点，线段 MN 经过△ ABC 的中心 G，设 MGA＝ （ 233） （ 1）试将△ AGM、△ AGN 的面积（分别记为 S1 与S2）； （ 2）表示为 的函数，求 y＝221211SS＋的最大值与最小值。 解析：（ 1）因为 G 是边长为 1 的正三角形 ABC 的中心，所以 AG＝ 2 3 33 2 3 ＝，MAG＝6，由正弦定理 G M G Asi n si n66＝ （ － － ）得 3GM6 si n 6＝ （ ＋ ），则 S1＝12 GMGAsin＝ sin12sin 6 （ ＋ ）。 同理可求得 S2＝ sin12sin 6 （ － ）。 （ 2） y＝221211yy＋＝ 222144 s in s ins in 6 6〔 （ ＋ ）＋ （ － ）〕＝ 72（ 3＋ cot2）因为 233， 所以当 ＝3或 ＝ 23时， y 取得最大值 ymax＝ 240，当 ＝2时， y 取得最小值 ymin＝ 216。 点评： 三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。 通过引入角度，将图DAB CMN第 12 页 共 24 页 形的语言转化为三角的符号语言，再通过局部的换元，又将问题转化为我们熟知的函数4()f t t t，这些解题思维的拐点，你能否很快的想到呢。 五．思维总结 1．解斜三角形的常规思维方法是： （ 1）已知两角和一边（如 A、 B、 C），由 A+B+C = π求 C，由正弦定理求 a、 b； （ 2）已知两边和夹角（如 a、 b、 c），应用余弦定理求 c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用 A+B+C = π，求另一角； （ 3）已知两边和其中一边的对角（如 a、 b、 A），应用正弦定理求 B，由 A+B+C = π求 C，再由正弦定理或余弦定理求 c 边，要注意解可能有多种情况； （ 4）已知三边 a、 b、 c，应余弦定 理求 A、 B，再由 A+B+C = π，求角 C。 2．三角形内切圆的半径： 2Srabc ，特别地，2a b cr  斜直； 3．三角学中的射影定理：在△ ABC 中， AcCab c o sc o s  ，„ 4．两内角与其正弦值：在△ ABC 中， BABA s ins in  ，„ 5．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。 普通高中课程标准实验教科书 — 数 学 [人教版 ] 高三新 数学 第一轮复习教案（讲座 26） — 平面向量的数量积及应用 一．课标要求： 1． 平面向量的数量积 ① 通过物理中 功 等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义 ； ② 体会平面向量的数量积与向量投影的关系 ； ③ 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 ； ④ 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 2． 向量的应用 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决 实际问题的能力。 二．命题走向 本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。 重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值 5~9 分。 平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主。 预测 07 年高考： （ 1）一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目。 第 13 页 共 24 页 （ 2）一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质； 三．要点精讲 1．向量的数量 积 （ 1）两个非零向量的夹角 已知非零向量 a 与 a，作 OA ＝ a ， OB ＝ b ，则 ∠ AＯ A＝ θ（０ ≤θ≤π）叫 a 与 b 的夹角 ； 说明：（ 1）当 θ＝０时， a 与 b 同向； （ 2）当 θ＝ π时， a 与 b 反向； （ 3）当 θ＝2时， a 与 b 垂直，记 a ⊥ b ； （ 4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的 ， 范围 0≤≤180。 （ 2）数量积的概念 已知两个非零向量 a 与 b ，它们的夹角为  ，则 a b =︱ a ︱ ︱ b ︱ cos 叫做 a 与b 的数量积（或内积）。 规定 00a ； 向量的投影：︱ b ︱ cos =||aba∈ R，称为向量 b 在 a 方向上的投影。 投影的绝对值称为射影； （ 3）数量积的几何意义： a b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积。 （ 4）向量数量积的性质 ①向量的模与平方的关系： 22||a a a a  。 ②乘法公式成立     2222a b a b a b a b      ； C 第 14 页 共 24 页  2 222a b a a b b     22 2a b b   ； ③平面向量数量积的运算律 交换律成立： a b b a   ； 对实数的结合律成立：        a b a b a b R        ； 分配律成立：  a b c a c b c      c a b  。 ④向量的夹角： cos = co s , ababab =22222121 2121 yxyxyyxx。 当且仅当两个非零向量 a 与 b 同方向时，θ =00，当且仅当 a 与 b 反方向时θ =1800，同时 0 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。 （ 5）两个向量的数量积的坐标运算 已知两个向量 1 1 2 2( , ), ( , )a x y b x y，则 a b = 1 2 1 2xx y y。 （ 6）垂直：如果 a 与 b 的夹角为 900 则称 a 与 b 垂直，记作 a ⊥ b。 两个非零向量垂直的充要条件： a ⊥ b  a 178。 b ＝ O 0212。