新课标人教a版必修5教案

新课标人教a版必修5教案内容摘要：

一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢。 ”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢。 我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际 测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。 如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。 于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。 今天我们开始学习 正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。 Ⅱ .讲授新课 （ 1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解 [例题讲解 ] (2)例 如图，设 A、 B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在 A 的同侧，在所 在的河岸边选定一点 C，测出 AC的距离是 55m，  BAC= 51 ，  ACB= 75。 求 A、 B两点的距离 (精确到 ) 启发提问 1：  ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当。 启发提问 2：运用该定理解题还需要那些边和角呢。 请学生回答。 分析：这是一道关于 测量从一个可到达的点到一个不 可到达的点之间的距离的问题 ， 题目条件告诉了边 AB的对角， AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出 AC的对角，应用正弦定理算出 AB边。 解：根据正弦定理，得 ACBABsin = ABCACsin AB = ABCACBAC sinsin = ABCACBsinsin55 = )7551180sin( 75sin55   = 54sin75sin55 ≈ (m) 答 :A、 B两点间的距离为 变式练习：两灯塔 A、 B与海洋观察站 C的距离都等于 a km,灯塔 A在观察站 C的北偏东 30 ，灯塔 B在观察站 C南偏东 60 ，则 A、 B之间的距离为多少。 老师指导学生画图，建立数学模型。 解略： 2 a km 例 如图， A、 B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量 A、 B两点间距离 的方法。 分析：这是例 1的变式题，研究的是 两个不可到达的点之间的距离测量问题。 首先需要构造三角形，所以需要确定 C、 D两点。 根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出 AC和 BC，再利用余弦定理可以计算出 AB的距离。 解：测量者可以在河岸边选定两点 C、 D，测得 CD=a，并且在 C、 D两点分别测得  BCA= ，  ACD= ，  CDB= ，  BDA = ，在  ADC和  BDC中，应用正弦定理得 AC = )](180sin[ )sin(    a = )sin( )sin(   a BC = )](180sin[ sin  a = )sin( sin  a 计算出 AC和 BC后，再在  ABC中，应用余弦定理计算出 AB两点间的距离 AB = c o s222 BCACBCAC  分组讨论：还没有其它的方法呢。 师生一起对不同方法进行对比、分析。 变式训练：若在河岸选取相距 40米的 C、 D两点，测得  BCA=60 ，  ACD=30 ，  CDB=45 ，  BDA =60 略解：将题中各已知量代入例 2推出的公式，得 AB=20 6 评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解 决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。 学生阅读课本 4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。 Ⅲ .课堂练习 课本第 13页练习第 2题 Ⅳ .课时小结 解斜三角形应用题的一般步骤： （ 1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图 （ 2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型 （ 3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解 （ 4）检验： 检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 Ⅴ .课后作业 课本第 19页第 3题 第 5 课时 课题 : 167。 解三角形 应用举例 ●教学目标 知识与技能： 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题 过程与方法： 本节课是解三角形应用举例的延伸。 采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。 通过 3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。 教学形式要坚持引导 ——讨论 ——归纳，目的不在于让 学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯。 作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间 情感态度与价值观： 进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力 ●教学重点 结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题 ●教学难点 能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件 ●教学过程 Ⅰ .课题导入 提问：现实生活中 ,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢。 又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢。 今天我们就来共同探讨这方面的问题 Ⅱ .讲授新课 [范例讲解 ] 例 AB是底部 B不可到达的一个建筑物， A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。 分析：求 AB长的关键是先求 AE，在  ACE中，如能求出 C点到建筑物顶部 A的距离 CA，再测出由 C点观察 A的仰角，就可以计算出 AE的长。 解：选择一条水平基线 HG，使 H、 G、 B三点在同一条直线上。 由在 H、 G两点用测角仪器测得 A的仰角分别是  、  ， CD = a，测角仪器的高是 h，那么，在  ACD中，根据正弦定理可得 AC = )sin(sina AB = AE + h = AC sin + h = )sin( sinsin  a + h 例 如图，在山顶铁塔上 B处测得地面上一点 A的俯角  =54 04 ，在塔底 C处测得 A 处的俯角  =501。 已知铁塔 BC 部分的高为 m,求出山高 CD(精确到 1 m) 师 :根据已知条件 ,大家能设计出解题方案吗。 （给时间给学生讨论思考）若在  ABD中求 CD，则关键需要求出哪条边呢。 生：需求出 BD边。 师：那如何求 BD边呢。 生：可首先求出 AB边，再根据  BAD= 求得。 解 :在  ABC中 ,  BCA=90 + , ABC =90  , BAC=  , BAD = .根据正弦定理 , )sin( BC = )90sin( AB 所以 AB =)sin( )90sin(   BC=)sin(cos BC 解 Rt ABD中 ,得 BD =ABsin BAD=)sin( sincos  BC 将测量数据代入上式 ,得 BD = )1500454sin(     =934sin    ≈ 177 (m) CD =BD BC≈ =150(m) 答 :山的高度约为 150米 . 师：有没有别的解法呢。 生：若在  ACD中求 CD，可先求出 AC。 师：分析得很好，请大家接着思考如何求出 AC。 生：同理，在  ABC中，根据正弦定理求得。 （解题过程略） 例 如图 ,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶 ,到 A 处时测得公路南侧远处一山顶 D在东偏南 15 的方向上 ,行驶 5km后到达 B处 ,测得此山顶在东偏南 25 的方向上 ,仰角为 8 ,求此山的高度 CD. 师：欲求出 CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢。 生：在  BCD中 师：在  BCD中，已知 BD或 BC都可求出 CD,根据条件 ,易计算出哪条边的长。 生： BC边 解 :在  ABC中 ,  A=15 , C= 25 15 =10 ,根据正弦定理 , ABCsin = CABsin , BC = CAABsinsin =10sin15sin5 ≈ (km) CD=BC tan DBC≈ BC tan8 ≈ 1047(m) 答 :山的高度约为 1047米 Ⅲ .课堂练习 课本第 15页练习第 3题 Ⅳ .课时小结 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图 ,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。 Ⅴ .课后作业 课本第 19页练习第 8题 为测某塔 AB的高度，在一幢与塔 AB相距 20m的楼的楼顶处测得塔顶 A的仰角为 30 ，测得塔基 B的俯角为 45 ，则塔 AB的高度为多少 m。 答案 ： 20+ 3320 (m) 第 6 课时 课题 : 167。 解三角形 应用举例 ●教学目标 知识与技能： 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题 过程与方法： 本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力。 除了安排课本上的例 1，还针对性地选择了既具典型性有具启发性的 2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透。 课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动 地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。 情感态度与价值观： 培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神。 ●教学重点 能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系 ●教学难点 灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题 ●教学过程 Ⅰ .课题导入 [创设情境 ] 提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。 然而在实际的航海生活中 ,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷 失方向，保持一定的航速和航向呢。 今天我们接着探讨这方面的测量问题。 Ⅱ .讲授新课 [范例讲解 ] 例 如图，一艘海轮从 A出发，沿北偏东 75 的方向航行 n mile后到达海岛 B,然后从 B出发 ,沿北偏东 32 的方向航行 n mile后达到海岛 A出发到达 C,此船应该沿怎样的方向航行 ,需要航行多少距离 ?(角度精确到  ,距离精确到 mile) 学生看图思考并讲述解题思路 教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出 AC 边所对的角  ABC，即可用余弦定理算出 AC边，再根据正弦定理算出 AC边和 AB 边的夹角  CAB。 解：在  ABC中，  ABC=180 75 + 32 =137 ，根据余弦定理， AC= A B CBCABBCAB  c o s222 =  137c o 22 ≈ 根据正弦定理 , CABBCsin = ABCACsin sin CAB = ACABCBC sin =  ≈ , 所以  CAB = , 75  CAB = 答 :此船应 该沿北偏东  的方向航行 ,需要航行 mile 补充 例 在某点 B处测得建筑物 AE的顶端 A的仰角为  ，沿 BE方向前进 30m，至点 C处测得顶端 A的仰角为 2 ，再继续前进 10 3 m至 D点，测得顶端 A的仰角为 4 ，求  的大小和建筑物 AE的 高。 师：请大家根据题意画出方位图。 生：上台板演方位图（上图） 教师先引导和鼓励学生积极思考解题方法，。