高中数学1-2第1课时等差数列的概念及通项公式同步导学案北师大版必修5

高中数学1-2第1课时等差数列的概念及通项公式同步导学案北师大版必修5内容摘要：

1)d=p ② ① ②，得（ pq） d=qp.∵ p≠ q,∴ d=1. 代入①，有 a1+(p1)(1)=q,∴ a1=p+q1. 故 ap+q=a1+(p+q1)d=p+q1+(p+q1)(1)=0.∴应选 B. 解法二：∵ ap=aq+(pq)d,∴ q=p+(pq)d,即 qp=(pq)d. ∵ p≠ q,∴ d=1. 故 ap+q=ap+［ (p+qp)］ d=q+q(1)=0.∴应选 B. 解法三：不妨设 pq，由于等差数列中， an关于 n的图像是一条直线上均匀排开的一群孤立的点，故三点（ p,ap） ,(q,aq),(p+q,ap+q)共线 .设 ap+q=m，由已知，得三点（ p,q） ,(q,p),(p+q,m)共线（如图） . 由△ ABE∽△ BCF， 得 BEAE =FCBF . ∴pq pq=qqp mp )(. ∴ 1=pmp. 得 m=0，即 ap+q=0.∴应选 B. ［说明］ 本题采用了三种方法，第一种方法使用的是方程思想，由已知建立了两个关于首项 a1和公差 d的等式，通过解方程组，达到解题目的 .第二种方法使用的是通项公式的推广形式 an=am+(nm)，通过点（ p,ap） ,(q,aq),(p+q,ap+q)共线求得其解，这也是解决本类问题较简便的方法 . 变式应用 1 已知｛ an｝为等差数列， a15=8,a60=20,求 a75. ［解析］ 解法一：∵ a15=a1+14d,a60=a1+59d, a1+14d=8 ∴ ， a1+59d=20 a1=1564 解得 d=154 ∴ a75=a1+74d=1564 +74 154 ＝ 24. 解法二：∵ a60=a15+45d, ∴ 45d=a60a15=208=12, ∴ d=154 . ∴ a75=a60+15d=20+15 154 ＝ 24. 命题方向 运用等差数列性质 am+an=ap+aq(m、 n、 p、 q∈ N+，且 m+n=p+q)解题 ［例 2］ 在等差数列 {an}中，已知 a2+a5+a8=9， a3a5a7=21，求数列的通项公式 . ［分析］ 要求通项公式，需要求出首项 a1及公差 d，由 a2+a5+a8=9 和 a3a5a7=21 直接求解很困难，这样促使我们转换思路 .如果考虑到等差数列的性质，注意到 a2+a8=2a5=a3+a7，问题就好解了 . ［解析］ ∵ a2+a5+a8=9， a3a5a7=21, 又∵ a2+a8=a3+a7=2a5， ∴ a3+a7=2a5=6，即 a5=3. ① ∴ a3 a7=7， ② 由①、②解得 a3=1,a7=7,或 a3=7,a7=1, ∴ a3=1， d=2或 a3=7,d=2. 由 an=a3+(n3)d,得 an=2n7或 an=2n+13. ［说明］ 本题利用等差数列的性质求解，可以使计算过程变简单，达到了事半功倍的效果 . 变式应用 2 在等差数列 {an}中，若 a3+a5+a7+a9+a11=100,则 3a9a13的值为（ ） ［答案］ C ［解析］ ∵ a3+a5+a7+a9+a11=100, 又∵ a3+a11=a5+a9=2a7, ∴ 5a7=100,∴ a7=20, ∴ 3a9a13=3(a7+2d)(a7+6d) =3a7+6da76d =2a7=40. 探索延拓创新 命题方向 等差数列性质的应用 ［例 3］ 已知四个数成递增等差数列，中间两数的和为 2，首末两项的积为 8，求这四个数 . ［分析］ 此题常规方法是利用已知条件，先求出首项和公差，进而求出这四个数 .其实 ,因为这里成等差数列的四个数之和已知，故可设此四个数为 a3d,ad,a+d,a+3d,这样求解更为方便，但必须注意这时的公差应为 2d. ［解析］ 解法一：设这四个数为 a3d,ad,a+d,a+3d(公差为 2d), 依题意， 2a=2,且（ a3d） (a+3d)=8, ∴ a=1,a29d2=8, ∴ d2=1, ∴ d=1或 d=1. 又知四个数成递增等差数列， ∴ d0, ∴ d=1,故所求的四个数为 2， 0， 2， 4. 解法二：若设这四个数为 a,a+d,a+2d,a+3d(公差为 d)， 依题意， 2a+3d=2,且 a(a+3d)=8, 把 a=123 d代入 a(a+3d)=8, 得（ 123 d） (1+23 d)=8,即 149 d2=8, 化简得 d2=4,∴ d=2 或 2. 又知四个数成递增等差数列，∴ d0,∴ d=2,a=2. 故所求的四个数为 2， 0， 2， 4. ［说明］ 此题设法很重要，一般地有如下规律：（ 1）若所给等差数列为 2n(n∈ N+)项，则可设为： a(2n1)d,„ ,a3d,ad,a+d,a+3d,„ ,a+(2n1)d,此数列的公差为 2d.(2)若所给等 差 数 列 的 项 数 为 2n1(n ∈ N+) 项 , 则 这 个 数 列 可 设 为 ：a(n1)d,„ ,ad,a,a+d,„ ,a+(n1)d,这个数列的公差为 d. 变式应用 3 已知 5个数成等差数列，它们的和为 5，平方和为 985 ，求这 5个数 . ［解析］ 设这五个数依次为 a2d,ad,a,a+d, a+2d,由题意，得 5a=5 (a2d) 2+(ad)2+a2+(a+d) 2+(a+2d) 2 =985 a=1 解得 d2=94 a=1 ∴ d=177。 32 故这五个数为 31，31， 1，35，37或37，35， 1，31， 31. 名师辨误做答 ［例 4］ 在等差数列 {an}中，已知 a1=2,a2+a3=13,则 a4+a5+a6= . ［误解］ 39 ∵ a2+a3=13,∴ a5=a2+a3=13, ∴ a4+a5+a6=3a5=39. ［辨析］ 误解过程中， a2+a3=a5是错误的，在运用等数列的性质“若 m+n=p+q(m、 n、 p、 q∈ N+)，则 am+an=ap+aq”的过程中，一定要明确条件“ m+n=p+q(m、 n、 p、 q∈ N+)”的内在含义 . ［正解］ 42 设公差为 d,∵ a2+a3=13, ∴ 2a1+3d=13,又 a1=2,∴ d=3. ∴ a4+a5+a6=3a5=3(a1+4d)=42. 课堂巩固训练 一、选择题 {an}为等差数列， a2+a8=12，则 a5等于（ ） ［答案］ C ［解析］ ∵ {an}为等差数列，∴ a2+a8=2a5, ∴ 2a5=12,∴ a5=6. {an}中， a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+„ +a7=（ ） ［答案］ C ［ 解析］ ∵ a3+a4+a5=12，∴ 3a4=12, ∴ a4=4. ∴ a1+a2+„ +a7=(a1+a7)+(a2+a6)+(a3+a5)+a4=7a4=28. ｛ an｝中， a4+a5=15,a7=12,则 a2=（ ） C. 23 23 ［答案］ A ［解析］ ∵ a4+a5=15, ∴ a2+a7=a4+a5=15, 又 a7=12.∴ a2=3. 二、填空题 {an}中， a3=7,a5=a2+6，则 a6= . ［答案］ 13 ［解析］ 设公差为 d,∵ a5=a2+6,∴ a5a2=3d=6, ∴ a6=a3+3d=7+6=13. ｛ an｝中，若 a2+a4022=4,则 a2020＝ . ［答案］ 2 ［解析］ ∵ {an}为等差数列， ∴ 2a2020=a2+a4022, ∴ a2020=240222 aa =24=2. 课后强化作业 一、选择题 {an}中， a3=5,a5=9,则 a7=（ ） ［答案］ C ［解析］ 设公差为 d,∵ a5a3=2d,∴ 2d=4,又 a7=a5+2d=9+4=13. {an}中， a3+a4+a5+a6+a7=450，则 a2+a8=（ ） ［答案］ C ［解析］ 由 a3+a7=a4+a6=2a5，得 a3+a7+a4+a6+a5=5a5=450,∴ a5=90. ∴ a2+a8=2a5=180. （ ） a,b,c成等差数列，则 a2,b2,c2成等差数列 a,b,c成等差数列，则 log2a,log2b,log2c成等差 数列 a,b,c成等差数列，则 a+2， b+2,c+2成等差数列 a,b,c成等差数列，则 2a， 2b,2c成等差数列 ［答案］ C ［解析］ ∵ a,b,c成等差数列， ∴ 2b=a+c, ∴ 2b+4=a+c+4, 即 2（ b+2） =(a+2)+(c+2), ∴ a+2,b+2,c+2成等差数列 . ｛ an｝中， a7+a9＝ 16,a4=1，则 a12等于（ ） ［答案］ A ［解析］ ∵ a7+a9=2a8=16,故 a8=8. 在等差数列 {an}中， a4,a8,a12成等差数列， 所以 a12=2a8a4=161=15. {an}满足 a1+a2+a3+„ +a101=0,则有（ ） +a1010 +a1000 +a100≤ 0 =0 ［答案］ D ［解析］ 由题设 a1+a2+a3+„ +a101=101a51=0, ∴ a51=0. {an}中 ,a1+a4+a7=39， a2+a5+a8=33，则 a3+a6+a9的值为（ ） ［答案］ B ［解析］ 解法一：设 b1=a1+a4+a7=39， b2=a2+a5+a8=33， b3=a3+a6+a9，∵ {an}成等差数列，∴b1,b2,b3成等差数列 ,∴ a3+a6+a9=b3=b2+(b2b1)=2b2b1=27. 解法二：设等差数列 {an}的公差为 d,则 a2+a5+a8=a1+a4+a7+3d,∴ 33=39+3d, ∴ 3d=6,∴ a3+a6+a9=a2+a5+a8+3d=336=27. {an},{bn}都是等差数列，且 a1=25,b1=75,a2+b2=100,则 a37+b37等于 （ ） ［答案］ C ［解析］ ∵ a1+b1=100,a2+b2=100, ∴ (a2a1)+(b2b1)=0, 设等差数列 {an},{bn}的公差分别为 d1,d2,则 d1+d2=0. ∴ a37+b37=a1+36d1+b1+36d2 =a1+b1+36(d1+d2)=a1+b1=100. {an}中，若 a4+a6+a8+a10+a12=120,则 a931 a11的值为（ ） ［答案］ C ［解析］ 由题意，得 5a8=120,∴ a8=24, ∴ a931 a11=(a8+d) 31 (a8+3d)= 32 a8=16. 二、填空题 {an}中， a3,a10是方程 x23x5=0的两根，若 {an}是等差数列，则 a5+a8= . ［答案］ 3 ［解析］ 由题意，得 a3+a10=3, ∴ a5+a8=a3+a10=3. ｛ an｝中， a2+a3+a10+a11=36,则 a6+a7= . ［答案］ 18 ［解析］ ∵ {an}为等差数列， ∴ a2+a11=a3+a10=a6+a7, ∴ a2+a3+a10+a11=2(a6+a7)=36, ∴ a6+a7=18. 11.(2020洛阳模拟 )已知｛ an｝为等差数列， a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则 a20= . ［答案］ 1 ［解析］ ∵ a1+a3+a5=105,即 3a3=105 ∴ a3=35,同理 a4=33, ∴ d=a4a3=2 ∴ a20=a4+(204)d=1. {an}中，公差为 21 ，且 a1+a3+a5+„ +a99=60，则 a2+a4+a6+„ +a100= .。