高中数学2-2三角形中的几何计算同步导学案北师大版必修5

高中数学2-2三角形中的几何计算同步导学案北师大版必修5内容摘要：

［例 4］ △ ABC中， a、 b、 c分别是角 A、 B、 C的对边， cosB= 21,7,53  BCABa，求∠ C. ［误解］ ∵ c os|||| BCABBCAB  (π B) =accosB=53ac=21, ∴ ac=35. 又∵ a=7, ∴ c=5. 由余弦定理，得 b2=49+252179。 7179。 5179。 53＝ 32， ∴ b=4 2 由正弦定理，得 Bbsin = Ccsin ,即 sinC= bBcsin . 又∵ cosB=53 ,B∈ (0,π ), ∴ sinB=54 . ∴ sinC= 2224 545 ， ∴∠ C= 434 或 . 析］ 误解中忽视了 ca这一条件，导致错误 . ∵ c os|||| BCABBCAB  (π B) =accosB=53 ac=21∴ ac=35. 又∵ a=7, ∴ c=5. 由余弦定理，得 b2=49+252179。 7179。 5179。 53 ＝ 32， ∴ b=4 2 . 由正弦定理，得 Bbsin = Ccsin ,即 sinC= bBcsin . 又∵ cosB=53 ,B∈ (0,π ), ∴ sinB=54 . ∴ sinC=2224 545 ， 又∵ c=5,a=7, ∴ ca,∴∠ C∠ A, 故∠ C为锐角，∴∠ C=4. 课堂巩固训练 一、选择题 3cm、 5cm,其夹角的 余弦是方程 5x27x6=0的根，则此三角形的面积是 ( ) cm2 ［答案］ A ［解析］ 解方程 5x27x6=0,得 x1=53 或 x2=2. 由题意，得三角形的两边长为 3cm、 5cm,其夹角的余弦为 53 ， ∴夹角的正弦为 24 ， 故三角形的面积 S＝ 21 179。 3179。 5179。 21 ＝ 6cm2. △ ABC中，周长为 cm,且 sinA： sinB： sinC=4： 5： 6,下列结论： ① a： b： c=4： 5： 6 ② a： b： c=2： 5 ： 6 ③ a=2 cm,b= cm,c=3 cm ④ A： B： C=4： 5： 6 其中成立的个数是（ ） C 由正弦定理知 a： b： c=4： 5： 6,故①对，②错，④错；结合 a+b+c=，知a=2， b=,c=3， ∴③对，∴选 C. 3.△ ABC中，若∠ A=60176。 ， b=16，此三角形面积 S=220 3 ，则 a的值为 ( ) ［答案］ D ［解析］ 由题意，得 S=220 3 ＝ 21 bcsinA=21 179。 16179。 c179。 23 ， ∴ c=55. 由余弦定理，得 a2=b2+c22bccosA =162+5522179。 16179。 55179。 21＝ 2401, ∴ a=49. 二、填空题 △ ABC中， a+b=12,A=60176。 ,B=45176。 ,则 a= . ［答案］ 3612 6 ［解析］ 由正弦定理 45sin1260sin aa， a=3612 6 . △ ABC 中，三个角 A、 B、 C的对边边长分别为 a=3,b=4,c=6,则 bccosA+accosB+abcosC的值为 ［答案］ 261 ［解析］ bccosA+cacosB+abcosC =bc178。 bc acb 2 222  +ca178。 ca bac 2 222  +ab178。 ab cba 2 222  = .2612 6432 222222  cba 三、解答题 △ ABC中，角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c，且满足 cos .3,5 522  ACABA （ 1）求△ ABC的面积； (2)若 c=1，求 a的值 . ［解析］ (1)∵ cos ,5522 A ∴ cosA=2cos2 2A 1=53 , ∴ sinA=54 . 又由 ACAB =3,得 bccosA=3,∴ bc=5. ∴ S△ ABC=21 bcsinA=2. （ 2） 由 （ 1） 知 ， bc=5,又 c=1, ∴ b=5， 由余弦定理 ， 得 a2=b2+c22bccosA=25+12179。 5179。 1179。 53=20, ∴ a=2 5 . 课后强化作业 一、选择题 △ ABC周长为 20，面积为 10 3 ， A=60176。 ，则 BC边长为（ ） ［答案］ C。