中考数学探索规律问题

中考数学探索规律问题内容摘要：

出所有可能 的直角三角形斜边的 长 ___________________. 1 2 基础题型 评析：这类题型主要以学生熟悉的、感兴趣的图形为背景，提供观察和操作的机会，让学生通过动手操作，亲自发现结果的准确性，在思想 和行动上逐步消除理论和实践之间的阻隔．网格试题具有操作性，趣味性，体现了“在玩中学，在学中思，在思中得”的课标理念． 操作与探究 2020/12/26 35 动手操作型试题是指给出操作规则，在操作过程 中发现新结论，自主探索知识的发展过程；它为解题 者创设了动手实践，操作设计的空间，考察了学生的 数学实践能力和创新设计才能． 2020/12/26 36 现有 10个边长为 1的正方形，排列形式如图 4, 请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求： 在图 4中画出分割线 , 并在图 5的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为 1）中用实线画出拼接成的新正方形． 说明：直接画出图形，不要求写分析过程 . 例 11（ 2020 北京） 请阅读下列材料 : 问题 : 现有 5个边长为 1的正方形，排列形式如图 1, 请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为 1）中用实线画出拼接成的新正方形． 小东同学的做法是 : 设新正方形的边长为 x（ x 0） . 依题意，割补前后图形面积相等，有 x2=5,解得 由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长 . 于是，画出如图 2所示的分割线 , 拼出如图 3所示的新正方形． 5x图 3图 2图 1图 3图 2图 1请你参考小东同学的做法，解决如下问题 : 图 ⑤ 图 ④ 题型一： 画图与拼图 综合题型 操作与探究 2020/12/26 37 小东同学的做法是： 设新正方形的 边长为 x(x0). 依题意，割补前后图形的面积相等，有 x2=5,解得 x= . 由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长 . 于是，画出如图 2所示的分割线，如图 3所示的新正方形 . 5再现操作情境 2020/12/26 38 小东同学的做法是： 设新正方形的 边长为 x(x0). 依题意，割补前后图形的面积相等，有 x2=5, 解得 x= . 由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长 . 于是，画出如图 4所示的分割线， 如图 5所示的新正方形 . 5① ② ③ ④ ⑤ 10 10理清操作步骤 发现变化， 类比迁移 2020/12/26 39 小东同学的做法是： 设新正方形的 边长为 x(x0). 依题意，割补前后图形的面积相等，有 x2=5, 解得 x= . 由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长 . 于是，画出如图 4所示的分割线， 如图 5所示的新正方形 . 5① ② ③ ④ ⑤ 10 10理清操作步骤 发现变化， 类比迁移 析解： 本例是将矩形分割后拼成正方形，而试题又提供了拼接方法， 解决这类问题除要有平时的分割和拼接经验外，还要密切关注 试题中的阅读材料． 2020/12/26 40 题型二： 折叠与变换 例 12（ 08北京） 已知等边三角形纸片的边长为 8， D为 AB边 上的点，过点 D作 DG∥BC 交 AC于点 G． DE⊥BC 于点 E，过点 G作 GF⊥BC 于 F点，把三角形纸片 ABC分别沿 DG,DE,GF按图 1所示方式折叠，点 A,B,C分别落在点 A’ ， B’ ， C’ 处．若点 A’ ，B’ ， C’ 在矩形 DEFG内或其边上，且互不重合，此时 我们称△ A’B’C’ （即图中阴影部分）为“重叠三角形”． 综合题型 折叠 轴对称 实质 ☞ 透过现象看本质 : 2020/12/26 41 （ 1）若把三角形纸片 ABC放在等边三角形网格中（图 中每个小三角形都是边长为 1的等边三角形），点 A,B,C,D恰好落在网格图中的格点上．如图 2所示， 请直接写出此时重叠三角形 A’B’C’ 的面积 _____； 题型二： 折叠与变换 观察图形可知 :重叠三角形是边长为 2的等边 三角形 综合题型 2020/12/26 42 （ 2）实验探究：设 AD的长为 m，若重叠三角形 A’ B’ C’ 存在． 试用含 m的代数式表示重叠三角形 A’ B’ C’ 的面积，并写 出 m的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究用）． 题型二： 折叠与变换 综合题型 评析：本题设计精巧，颇具新意，是以学生喜闻乐见的“折纸”为背景，展示了数学的丰富内涵，材料鲜活、亲切，表述简明直观。 本题的另一巧 妙之处在于构成网格的图形是正三角形，令人耳目一新。 第一问折叠是轴对称性质的应用，应注意折叠中出现的不变量；第二问体现了由 特殊到一般的认知规律，在直观操作的基础上，将直觉与简单推理相结合，考察了学生的建模能力． m m 8m 82m 82m0 8823m2020/12/26 43 综合题型 题型二： 折叠与变换 例 13（ 08浙江） 已知直角梯形纸片 OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为 O(0， 0)， A(10， 0)， B(8， )， C(0， )，点 T在线段 OA上 (不与线段端点重合 )，将纸片折叠，使点 A落在射线 AB上 (记为点 A′) ，折痕经过点 T，折痕 TP与射线 AB交于点 P，设点 T的横坐标为 t，折叠后纸片重叠部分 (图中的阴影部分 )的面积为 S； (1)求 ∠ OAB的度数，并求当点 A′ 在线段 AB上时， S关于 t的 函数关系式； (2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求 t的取值范围； (3)S存在最大值吗。 若存在，求出这个最大值，并求此时 t 的值；若不存在，请说明理由． 32 32评析： 这是一道翻折实验题，可以让学生在亲手操作中学习知识，充分考查学生的作图能力、空间想象能力和探索能力。 也可利用课件演示几个关键点 2020/12/26 44 解题策略 2： 重结果 ——“叠 ” ． 心得： 先标等量，再构造方程。 折叠问题中构造方程的方法： （ 2）寻找相似三角形，根据相似比得方程。 （ 1）把条件集中到一 Rt△ 中，根据勾股定理得方程。 2020/12/26 45 重结果 折叠问题 折 叠 利用 Rt△ 利用 ∽ 方程思想 轴对称 全等性 对称性 质本 精髓 2020/12/26 46 例 14（ 06顺义二模）把两个全等的等腰直角板 ABC和 OPQ叠放在一起， 如图 1，且使三角板 OPQ的直角顶点 O与三角板 ABC的斜边中点重合． 现将三角板 OPQ绕点。