基于极坐标的牛顿－拉夫逊法潮流计算

基于极坐标的牛顿－拉夫逊法潮流计算内容摘要：

的负值，即 12 ikik yY  （ 28） 不难理解 kiik YY 。 若节点 i和 k 没有支路直接相联时，便有 0ikY。 在图 22 所示的网络中，单独在节点 2 接上电源 2U ，而将其余节点都接地。 y45y5 6y35y36y6 0y15y12y23y1 0y2 0218。 2161。 6161。 5161。 1161。 4161。 2161。 35 61234 图 23 自导纳和互导纳的确定 根据上述节点自导纳和互导纳的定义，可得 2312202 2232122202222 yyyU UyUyUyUIY   122 2122212 yU UyUIY   232 2232222 yU UyUIY   因 0654  III  ，故 0625242  YYY。 从图中也可以清楚地看到，节点 5 和6 同节点 2 都没有直接的支路关系。 导纳矩阵元素的其它元素也可以用类似方法确定。 节点导纳矩阵的主要特点是： （ 1）节点导纳矩阵的元素很容易根据网络接线图和支路参数直观的求得，形成节点 13 导纳矩阵的程序比较简单。 （ 2）节导纳矩阵是稀疏矩阵。 它的对角线元素一般不为零，但在非对角线元素中则存在不少零元素。 在电力系统的接线图中，一般每个节点同平均不超过 3~4 个其它节点有直接的支路联接，因此在导纳矩阵的非对角线元 素中每行平均仅有 3~4 个非零元素，其余的元素都为零。 如果在程序设计中设法排除零元素的贮存和运算，就可以大大地节省贮存单元和提高计算速度。 第三章 牛顿 — 拉夫逊法潮流分布计算 14 牛顿 — 拉夫逊法 (简称牛顿法 )在数学上是求解非线性代数方程式的有效方法，其要点是把非线性方程式的求解过程变成反复地对相应的线性方程式 进行求解的过程，即通常所称的逐次线性化过程 【 1】。 牛顿 — 拉夫逊法简介 牛顿 — 拉夫逊法简介 牛顿 — 拉夫逊法（ Newton— Raphson法）是求解非线性方程代数方程组的有效迭代计算方法。 在牛顿 — 拉夫逊法的每一次迭代过程中，对非线性方程通过线性化处理逐步近似。 下面以单变量加以说明。 设有单变量非线性方程 0)( xf (31) 求解此方程时。 先给出解的近似值 )0(X 它与真解的误差为 )0(X ，则 )0()0( XXx 将满足方程，即 0)( )0()0(  xXf (32) 将 (38)式左边的函数在 )0(X 附近展成泰勒级数，于是便得 .... .! )()(.... .!2 )()()()()( )0()0()(2)0()0()0()0()0()0()0(  nxxfxxfxxfxfxxf nn （ 33） 式中 )( )0(xf ,…… )( )0()( xf n 分别为函数 ()fx在 )0(X 处的一阶导数， … .， n 阶导数。 如果差值 )0(X 很小， 39式右端 )0(X 的二次及以上阶次的各项均可略去。 于是， 39便简化为 0)()()( )0()0()0()0()0(  xxfxfxxf (34) 这是对于变量的修正量 )0(X 的现行方程式，亦称修正方程式。 解此方程可得修正量 )( )( )0()0()0(xf xfx  (35) 15 用所求的 )0(X 去修正近似解，变得 )( )( )0()0()0()0()0()1(xf xfxxxx  (36) 由于 310是略去高次项的简化式，因此所解出的修正量 )0(X 也只是近似值。 修正后的近似解 )1(x 同真解仍然有误差。 但是，这样的迭代计算可以反复进行下去，迭代计算的通式是 )( )( )()()()1(kkkkxf xfxx  (37) 迭代过程的收敛判据为 1)( )( kxf (38) 或 2)(  kx (39) 式中 1 ， 2 为预先给定的小正数。 这种解法的几何意义可以从图 3－ 1 得到说明。 函数 y＝ f(x)为图中的曲线。 f(x)＝ 0的解相当于曲线与 x 轴的交点。 如果第 k 次迭代中得到 )(kx ，则过  )(, )()()( kkk xfyx  点作一切线，此切线同 x轴的交点便确定了下一个近似值 )1(kx。 由此可见，牛顿－拉夫逊法实质上就是切线法，是一种逐步线性化的方法。 应用牛顿法求解多变量非线性方程组 31 时，假定已给出各变量的初值 1)0(x ， 2)0(x … . nx)0( ，令 1)0(x ， 2)0(x ， … .. nx)0( 分别为各变量的修正量，使其满足方程 32 即 )0, .. .. ,()0, .. .. ,()0, .. .. ,()0()0(2)0(2)0(1)0(1)0()0()0(2)0(2)0(1)0(1)0(2)0()0(2)0(2)0(1)0(1)0(1nnnnnnnxxxxxxfxxxxxxfxxxxxxf (310) 将上式中的 n 个多元函数在初始值附近分别展成泰勒级数 ,并略去含有 )0(1x ，)0(2x ， …… ， )0(nx 二次及以上阶次的各项，便得 16 0. ..), .. .. ,(0. ..), .. .. ,(0. ..), .. .. ,()0(012)0(0211)0(011)0(2)0(1)0()0(012)0(0211)0(011)0(2)0(1)0(2)0(012)0(0211)0(011)0(2)0(1)0(1nnnnnnnnnnxxfxxfxxfxxxfxxfxxfxxfxxxfxxfxxfxxfxxxf. (311) 方程式 317 也可以写成矩阵形式 002010202201201021011)0(2)0(1)0()0(2)0(1)0(2)0(2)0(1)0(1.. .... .... ..),. .. ,(),. .. ,(),. .. ,(nnnnnnnnnnxfxfxfxfxfxfxfxfxfxxxfxxxfxxxf (312) 方程式 318 是对于修正量 )0(1x ， )0(2x ， …… ， )0(nx 的线性方程组 , 称为牛顿法的修正方程式 .利用高斯消去法或三角分解法可以解出修正量 )0(1x ， )0(2x ， …… ， )0(nx。 然后对初始近似值进行修正 iii xxx )0()0()1(  (i=1,2,… .,n) (313) 如此反复迭代，在进行 k＋ 1 次迭代时，从求解修正方程式 17 nkkkknnknknknkkkkknkkknnkkknkkkxxxxfxfxfxfxfxfxfxfxfxxxfxxxfxxxf)()(1)(2122212212111)(2)(1)()(2)(1)(2)(2)(1)(1. .. .2. .... .. ... .... ...), .. .,(), .. .,(), .. .,( (314) 得到修正量 1)(kx ， 2)(kx ， nkx)( ，并对各变量进行修正 ikikik xxx )()()1(  ； (i=1,2,… ,n) (315) 式 320 和 321 也可以缩写为 )()()( )( kkk xJxF  (316) 和 )()()1( kkk xxx  (317) 式中的 X 和 x 分别是由 n 个变量和修正量组成的 n 维列向量； F(X)是由 n 个多元函数组成的 n 维列项量； J 是 n 阶方阵，称为雅可比矩阵，它的第 i、 j 个元素 xfJ  是第 n个函数 ),....,( 21 ni xxxf 对第 j 个变量 jx 的偏导数；上角标 (k)表示 J 阵的每一个元素都在点 ),( )(,...,2)(1)( nkkki xxxf 处取值。 迭代过程一直到满足收敛判据   1)(,...,2)(1)( ),(m a x nkkki xxxf (318) 或   2)(max  ikx (319) 为止。 1 和 2 为预先给定的小正数。 将牛顿－拉 夫逊法用于潮流计算，要求将潮流方程写成形如方程式 31 的形式。 由于节点电压可以采用不同的坐标系表示，牛顿－拉夫逊法潮流计算也将相应的采用不同的计算公式。 牛顿 — 拉夫逊法的几何。