高一数学命题及其关系

高一数学命题及其关系内容摘要：

m，使 2x＋ m＜ 0是 x2－ 2x－ 3＞ 0的必要条件．  2mxx 2mxx2m充分必要条件的证明 求证：关于 x的方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0有一根为 1的充分必要条件是 a＋ b＋ c＝ 0. 分析 分两个步骤完成，即必要性和充分性分别证明．充分性、条件： a＋ b＋ c＝ 0，结论： ax2＋bx＋ c＝ 0有一根为 1；必要性、条件： ax2＋ bx＋ c＝ 0有一根为 1，结论： a＋ b＋ c＝ 0. 证明 ①必要性，即“若 x＝ 1是方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0的根，则 a＋ b＋ c＝ 0”． ∵ x＝ 1是方程的根，将 x＝ 1代入方程，得 a12＋ b1 ＋c＝ 0，即 a＋ b＋ c＝ ． ②充分性，即“若 a＋ b＋ c＝ 0，则 x＝ 1是方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0的根”． ∵ a＋ b＋ c＝ a 12＋ b 1＋ c＝ 0， ∴ x＝ 1是方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0的根． 综合①②知命题成立． 规律总结 充要条件证明的关键是：根据定义确定哪个是已知条件，哪个是结论；再去确定充分性是证明哪一个命题，必要性是证明哪一个命题．证明的过程实质上是两个互逆的推理过程．证明的方式有时可以直接证明，有时转化后再证明． 变式训练 3 求证：关于 x的方程 x2＋ mx＋ 1＝ 0有两个负实根的充要条件是 m≥2. 【 证明 】 ①充分性： ∵ m≥2， ∴ Δ＝ m2－ 4≥0， 方程 x2＋ mx＋ 1＝ 0有实根． 设 x2＋ mx＋ 1＝ 0的两个实根为 x x2， 由根与系数的关系知 x1x2＝ 10， ∴ x x2同号． 又 ∵ x1＋ x2＝－ m≤－ 2， ∴ x x2同为负根． ②必要性： ∵ x2＋ mx＋ 1＝ 0的两个实根 x x2均为负， 且 x1x2＝ 1， ∴ m－ 2＝－ (x1＋ x2)－ 2＝－ － 2 ＝－ ＝－ ≥0， ∴ m≥2. 综合①②知命题得证．   11 1xx1121 12x xx   121 1xx 反证法的应用 用反证法证明：设三个正实数 a、 b、 c满足条件 ＋ ＋ ＝ 2，求证： a、b、 c中至少有两个不小于 1. a1 b1 c1分析 用反证法证题时，首先对结论进行否定，即“ a， b， c中至多有一个不小于 1”共有两种情况：“ a、 b、 c三数均小于 1”和“ a、 b、 c中有两数小。