高一数学数列的概念及其表示法

高一数学数列的概念及其表示法内容摘要：

法 、 累乘法求解 ． 一般地 ， ① 若 an＋ 1＝ an＋ d(常数 )， 则 {an}为等差数列； ② 若 an＋ 1＝ anq(q为常数 )， 则 {an}为等比数列； ③ 若 an＋ 1＝ an＋ f(n)， 可用累加法；④ 若 an＋ 1＝ f(n)an， 可用累乘法； ⑤ 若 an＋ 1＝ pan＋ q， 可用待定系数法 ， 构造等比数列求解 ． Sn与 an的关系及应用 【 例 3】 已知数列 {an}的前 n项和 Sn＝－ n2＋ 24n(n∈ N*)． 求 {an}的通项公式 ． 思路点拨： ∵ Sn＝ a1＋ a2＋ … ＋ an－ 1＋ an， ∴ an＝ Sn－ Sn－ 1(n≥2)且 n＝ 1时 ， a1＝ S1. 解： n＝ 1时 ， a1＝ S1＝ 23. n≥2时 ， an＝ Sn－ Sn－ 1 ＝－ n2＋ 24n＋ (n－ 1)2－ 24(n－ 1) ＝－ 2n＋ 25. 经验证 ， a1＝ 23符合 an＝－ 2n＋ 25， ∴ an＝－ 2n＋ 25(n∈ N*)． S n 与 a n 的关系式为 a n ＝ S 1 ，  n ＝ 1 S n － S n － 1 ，  n ≥ 2  求解时，要分 n ＝ 1 和 n ≥ 2 两种情况讨论，然后验证两种情况是否可以合并，若能，则用一个关系式表示，若不能，则用分段形式表示 ． 从函数角度认识数列 【例 4 】 ( 2020 年高考辽宁卷 ) 已知数 列 { a n } 满足 a 1 ＝ 33 ， a n ＋ 1 － a n ＝ 2 n ， 则a nn 的最小值为 ___ _ ___ _ ． 思路点拨： 先由 a n ＋ 1 － a n ＝ 2 n 运用累加法求出 a n ，进而写出 a nn ，可根据其单调性求其最小值 ． 解析： 由 a n ＋ 1 － a n ＝ 2 n 得， a 2 － a 1 ＝ 2 ， a 3 － a 2 ＝ 4 ， a 4 － a 3 ＝ 6 ， „ ， a n － a n － 1 ＝ 2 ( n － 1 )( n ≥ 2 ) ，将这 n － 1 个式子累加得 a n － a 1 ＝ 2 ＋ 4 ＋ 6 ＋ „ ＋ ( 2 n － 2 ) ＝2 ＋  2 n － 2 2 ( n － 1 ) ＝ n2－ n . ∴ a n ＝ a 1 ＋ n2－ n ＝ n2－ n ＋ 33 ( n ≥ 2 ) ， a 1 ＝ 33 也适合上式， ∴ a n ＝ n2－ n ＋ 33. ∴a nn＝n2－ n ＋ 33n＝ n ＋33n－ 1 ， 由函数单调性可知当 n ＝ 6 时，a nn有最小值212. 答案：212 由于数列是一种特殊的函数 ， 所以在研究数列的项 、 最值 、 单调性 、 周期性 、 项的大小比较等问题时 ， 可以借助研究函数的方法进行求解 ． 变式探究 41 ： ( 2020 年福建龙 岩一模 ) 已知数列 { a n } 的通项 a n ＝nanb ＋ c( a ， b ， c ∈ ( 0 ，＋∞ )) ， 则 a n 与 a n ＋ 1 的大小关系是 ( ) ( A ) a n a n ＋ 1 ( B ) a n ＜ a n ＋ 1 ( C ) a n ＝ a n ＋ 1 ( D ) 不能确定 解析： a n ＝nanb ＋ c＝ab ＋cn， ∵ y ＝cn是减函数， ∴ a n ＝ab ＋cn为增函数， ∴ { a n } 为递增数列，因此 a n ＜ a n ＋ 1 ，故选 B. 【 例 1】 (2020年高考陕西卷 )对于数列 {an}， “ an＋ 1|an|(n＝ 1,2,3， … )”是 “ {an}为递增数列 ” 的 ( ) (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 解析： 由 an＋ 1|an|可得 ， an＋ 1an， ∴ {an}为递增数列 ， ∴ “ an＋ 1|an|(n＝ 1,2,3， … )”是 “ {an}为递增数列 ” 的充分条件 ． 若 {an}为递增数列 ， 不一定有 an＋ 1|an|， 如－ 3， － 2， － 1,0,1， … ∴ “an＋ 1|an|(n＝ 1,2,3， … )”不是 “ {an}为递增数列 ” 的必要条件 ， 故选 B. 【 例 2】 (2020年高考湖南卷 )若数列 {an}满足：对任意的 n∈ N*， 只有有限个正整数 m使得 am＜ n成立 ， 记这样的 m的个数为 (an)*， 则得到一个新数列 {(an)*}． 例如 ， 若数列{an}是 1,2,3， … ， n， … ， 则数列 {(an)*}是 0,1,2， … ， n－ 1， … .已知对任意的 n∈ N*，an＝ n2， 则 (a5)*＝ ________.((an)*)*＝ ________. 解析： ∵ {an}是 12,22,32,42。