高三数学圆锥曲线的综合问题

高三数学圆锥曲线的综合问题内容摘要：

知圆 k过定点 A(a,0)(a＞ 0),圆心 k在抛物线 C：y 2 =2ax上运动， MN为圆 k在 y轴上截得的弦 . (1)试问 MN的长是否随圆心 k的运动而变化。 (2)当 |OA|是 |OM|与 |ON|的等差中项时，抛物线 C的准线与圆 k有怎样的位置关系。 本题考查圆锥曲线科内综合的知识及考生 综合、灵活处理问题的能力。 知识依托于弦长公式，韦达定理，等差中项，绝对值不等式，一元二次不等式等知识 . 解： (1)设圆心 k(x0,y0),且 y02=2ax0, 圆 k的半径 R=|AK|= 2202020 )( axyax  ∴ |MN|= 20220202 22 xaxxR  =2a(定值 ) ∴ 弦 MN的长不随圆心 k的运动而变化 . (2)设 M(0,y1)、 N(0,y2)在圆 k： (x－ x0)2+(y－ y0)2=x02+a2中， 令 x=0，得 y2－ 2y0y+y02－ a2=0 ∴ y1y2=y02－ a2 ∵ |OA|是 |OM|与 |ON|的等差中项 . ∴ |OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a. 又 |MN|=|y1－ y2|=2a ∴ |y1|+|y2|=|y1－ y2| ∴ y1y2≤ 0， 因此 y02－ a2≤ 0,即 ax0－ a2≤ 0. ∴ 0≤ x0≤ 2a 圆心 k到抛物线准线距离 d=x0+ ≤ a, 2a 而圆 k半径 R= ≥ a. 220 ax 且上两式不能同时取等号，故圆 k必与准线相交 . 问题 3： 如图，已知椭 =1(2≤m≤5), 过 其左焦点且斜率为 1的直线与椭圆及其准线的交点从左 到右的顺序为 A、 B、 C、 D， 设 f(m)=||AB|－ |CD||. (1)求 f(m)的解析式； (2)求 f(m)的最值 . 122 mymx 本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系式，并求其最 值，体现了圆锥曲线与代数间的科间综合 .知识依托于直线与圆锥曲 线的交点，韦达定理，根的判别式，利用单调性求函数的最值 . 解： (1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为 a、 b、 c，则 a2=m,b2=m－ 1,c2=a2－ b2=1 ∴ 椭圆的焦点为 F1(－ 1,0),F2(1,0). 故直线的方程为 y=x+1, 又椭圆的准线方程为 x=177。 , 即 x=177。 m. ca2∴ A(－ m,－ m+1),D(m,m+1), 考虑方程组 11122mymxxy 消去 y得： (m－ 1。