推出与充分条件、必要条件

推出与充分条件、必要条件内容摘要：

，若 p⇒q为真 ，则 p是 q成立的充分 条 件，若 q⇒p为真 ， 则 p是 q成立的必要 条 件． • (2)注意利用 “成立的 证 明，不成立的 举 反例 ”的 数学 方法技巧 来 作出判 断 ． • (3)关 于充要 条 件的判 断问题 ， 当 不易判 断p⇒q真 假 时 ，也可 从 集合角度入手 进 行判断 ． • (2020北京文 )设 a、 b是实数，则 “ ab”是“ a2b2”的 ( ) • A．充分而不必要条件 • B．必要而不充分条件 • C．充分必要条件 • D．既不充分也不必要条件 • [答案 ] D [ 解析 ] 设 a ＝ 1 ， b ＝－ 2 ，则有 a b ，但 a 2 b 2 ，故 a b ⇒/ a 2 b 2 ；设 a ＝－ 2 ， b ＝ 1 ，则有 a 2 b 2 ，但 a b ，故 a 2 b 2 ⇒/ a b ，故选 D. • 用集合判断充要条件 设命题甲为： 0 x 5 ，命题乙为： | x － 2| 3 ，那么甲是乙的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [ 解析 ] 解不等式 | x － 2| 3 得－ 1 x 5 ， ∵ 0 x 5 ⇒ － 1 x 5 但－ 1 x 5 ⇒/ 0 x 5 ， ∴ 甲是乙的充分不必要条件，故选 A. [ 答案 ] A • [点评 ] 一般情况下，若条件甲为 x∈ A，条件乙为 x∈ B. • 当且仅当 A⊆B时，甲为乙的充分条件； • 当且仅当 B⊆A时，甲为乙的必要条件； • 当且仅当 A＝ B时，甲为乙的充要条件； • 当且仅当 A B时，甲为乙的充分不必要条件； • 当且仅当 A B时，甲为乙的必要不充分条件． • 设集合 M＝ {x|x2}， P＝ {x|x3}，那么“ x∈ M或 x∈ P” 是 “ x∈ M∩P” 的 ( ) • A．充分不必要条件 • B．必要不充分条件 • C．充要条件 • D．既不充分也不必要条件 • [答案 ] B [ 解析 ] 先分别写出适合条件的 “ x ∈ M 或 x ∈ P ” 和 “ x ∈M ∩ P ” 的 x 的范围，再根据充要条件的有关 概念进行判断． 由已知可得 x ∈ M 或 x ∈ P 即 x ∈ R ， x ∈ M ∩ P 即 2 x 3 ， ∴ 2 x 3 ⇒ x ∈ R ，但 x ∈ R ⇒/ 2 x 3 ， ∴ “ x ∈ M 或 x ∈ P ” 是 “ x ∈ M ∩ P ” 的必要不充分条件，故应选 B. •证明充要条件 证明一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 有一正根和一负根的充要条件是 ac 0. [ 证明 ] 充分性：若 ac 0 ，则 b2－ 4 ac 0 ，且ca0 ， ∴ 方程 ax2。