总结求逆矩阵方法

总结求逆矩阵方法内容摘要：

0b  0, 则 0=g(A)= EbEbAbAb mm 001  =A（ EbAmm 11  ） 所以 1A =01b （ EbAb mm 11  ） . 递推法 递推法利用 n 阶可逆矩阵的 n 1阶矩阵的逆来递推得到原矩阵的逆。 引理 任何一个 m +1 阶可逆方阵都可以只通过行列互换初等变换化为左上角为 m 阶可逆块的方块方阵形式，即对任意 m +1 阶可逆方阵 1mA ，存在互换初等矩阵 7 / 17 iP （ 1iP =iP ）（ i =1,2,… ,n ）使得 1P 2P … jP 1mA 1jP … nP = mmmm bB  ，其中， mB为 m 阶可逆方阵， m 为 m 1 阶矩阵， m 为 1 m 阶矩阵， mb = 11 mmb ，于是 11mA = jP … 2P 1P 1mmmm bB  nP … 1jP . 证明：由 1mA 可逆知，至少有一个 m 阶子式不为零，于是可以只通过行列的互换变换将 此子式对应的矩阵换到左上角，得到新矩阵 mmmm bB  形式，即存在互换初等矩阵 iP（ 1iP =iP ）（ i =1,2,… ,n ）使得 1P 2P … jP 1mA 1jP … nP = mmmm bB  ，其中， mB 、m 、 m 、 mb 如条件所设，于是根据互换初等矩阵性质 1iP =iP 即可得到定理后半部分结论。 根据引理 ,只需要考虑左上角的 m 阶分块为可逆矩阵的 m +1 阶可逆方阵1mA . 引理 设 m +1 阶可逆方阵 1mA =（ ija ） = mmmm aA  ，其中 mA 为 m 阶可逆方阵， m 为 m 1 阶矩阵， m 为 1 m 阶矩阵， ma = 1,1 mma ，则 ma ma 1mA m  0. 证明：由分块矩阵乘法及 mA 可逆，有  mm mm aA     10 11 mmm AA  =    mmmmmm m AaAE  11 0， (1) 由 1mA 可逆，即可得到 ma ma 1mA m  0，证毕。 推论 令 mc = ma ma 1mA m ，则 mc = 1mA 1mA = 1mA 1mA =mmAA1 . 证明：在（ 1）式两边取行列式既得。 根据引理 ，可得到下面的结论。 8 / 17 定理 1mA ， mA ， m ， m ， ma ， mc 如引理及推论所述，又令 m = 1mA m ， m = m 1mA ，则 11mA =   00 01mA +mc1  1mmmm  =   00 01mA +mc1 1m  1m ， 其中， 1mA = 111a . 证明：显然 1mA = 111a ，设 1mA 的逆矩阵 11mA = mmmm bB  ，其中 mB 为 m 阶方阵 m为 m 1阶矩阵 , m 为 1 m 矩阵， mb = 11 mmb ，根据 1mA 11mA = mmmm aA  mmmm bB  =  10 0mE ，其中 mE 是 m 阶单位矩阵，再 由分块矩阵乘法和矩阵相等得到矩阵方程组     4,13,02,01,mmmmmmmmmmmmmmmmmbaaBbAEBA 根据 mA 可逆，由（ 3）式得 m =mb 1mA m ， （ 6） 将（ 6）式代入（ 5）式得 mb =mmmm Aa  11  =mc1 ， （ 7） 将（ 7）式代入（ 6）式得mmm cA  1 =mc1 m ， （ 8） 又由（ 2）式得 mB = 1mA 1mA m m ， （ 9） 将（ 9）式代入（ 4）式得 m =mmmmm Aa A  11 =mc1 m ， （ 10） 将（ 10）式代入（ 9）式得 mB = 1mA +mc1 （ 1mA m ） m = 1mA +mc1 m m ， （ 11） 综合（ 7）（ 8）（ 10）（ 11）即可得到 11mA =   00 01mA +mc1  1mmmm  =   00 01mA +mc1 1m  1m .定理证毕。 9 / 17 推论 1 设 1mA =diag(1a , 2a ,..., 1ma )(ia  0,i =1,2,...,m +1),则 11mA =diag( 11a ， 12a ， ...， 11ma ). 证明：此时 m =0， m =0， mc = 1ma ,于是 11mA =   00 01mA +  11000ma= 1110 0mm aA=......=diag( 11a ， 12a ， ...， 11ma ) . 推论 2 设 A =  dc ba( 0bcad )，则 1mA = bcad1  ac bd. 证明：设 a  0，此时 11A = a1， 1 = ac， 1 = ab， 1c = abcad ，所以 11A = 0001a + bcada12ac cbabc= bcad1  ac bd，上式在 a =0也成立，证毕。 例 求矩阵 A 的逆矩阵，其中 A =165283141 . 解： 11A =（ 1），且 2A =83 41=4 0，于是 1 =（ 3）， 1  =（ 4）， 1 c =（ 4），所以 12A =  00 01 41  13 412 =41   13 48 ； 又 2 =41 （ 58， 26）， 2  =41 10， 2c =21 ，所以 11A =00004143012+（ 2）121322941813829000=2132。