第一章函数、极限与连续习题课

第一章函数、极限与连续习题课内容摘要：

定义 1 设函数 )( xf 在点0x 的某一邻域内有定义 ,如果当自变量的增量 x 趋向于零时 , 对应的函数的增量 y 也趋向于零 , 即0lim0yx 或 0)]()([lim000xfxxfx那末就称函数 )( xf 在点0x 连续 ,0x 称为 )( xf 的连续点 .连续的定义 ).()(lim2 00xfxfxx 定义定理 .)()( 00既左连续又右连续处在是函数处连续在函数 xxfxxf .)(),()0(,),[)(0000处右连续在点则称且内有定义在若函数xxfxfxfbxxf 连续的充要条件 单侧连续。 )(),()0(,],()(0000处左连续在点则称且内有定义在若函数xxfxfxfxaxf :)( 0 条件处连续必须满足的三个在点函数 xxf。 )()1( 0 处有定义在点 xxf。 )(l i m)2(0存在xfxx ).()(l i m)3( 00xfxfxx ).()(),()(,00或间断点的不连续点为并称点或间断处不连续在点函数则称要有一个不满足如果上述三个条件中只xfxxxf间断点的定义 (1) 跳跃间断点 .)(),0()0(,)(0000的跳跃间断点为函数则称点但存在右极限都处左在点如果xfxxfxfxxf(2)可去间断点 .)()(),()(lim,)(00000的可去间断点为函数义则称点处无定在点或但处的极限存在在点如果xfxxxfxfAxfxxfxx间断点的分类 跳跃间断点与可去间断点统称为 第一类间断点 . 特点 : .,0 右极限都存在处的左函数在点 x可去型 第一类间断点 跳跃型 0 y x 0x0 y x 0x0 y x 无穷型 振荡型 第二类间断点 0 y x 0x第二类间断点 .)(,)(00类间断点的第二为函数则称点至少有一个不存在右极限处的左在点如果xfxxxf.],[)(,),(上连续在闭区间函数则称处左连续在右端点处右连续并且在左端点内连续如果函数在开区间baxfbxaxba闭区间的连续性 连续性的运算性质 定理 .)0)(()()(),()(),()(,)(),(000处也连续在点则处连续在点若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf定理 1 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数 . 定理 2 )].(lim[)()]([lim,)(,)(lim000xfafxfaufaxxxxxxx则有连续在点函数若初等函数的连续性 .)]([,)(,)(,)(00000也连续在点则复合函数连续在点而函数且连续在点设函数xxxfyuuufyuxxxxu定理 3 定理 4 基本初等函数在定义域内是连续的 . 定理 5 一切初等函数在其 定义区间 内都是连续的 . 定义区间 是指包含在定义域内的区间 . 闭区间上连续函数的性质 定理 1(最大值和最小值定理 ) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值 . 定理 3( 零点定理 ) 设函数 )( xf 在闭区间  ba ,上连续，且 )( af 与 )( bf 异号 ( 即 0)()(  bfaf ),那末在开区间  ba , 内至少有函数 )( xf 的一个零点 , 即至少有一点  )( ba  ，使 0)( f .定理 2(有界性定理 ) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界 . 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M与最小值 m之间的任何值 . 定理 4( 介值定理 ) 设函数 )( xf 在闭区间  ba , 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 Aaf )( 及 Bbf )( ,那末，对于 A 与 B 之间的任意一个数 C ，在开区间 ba , 内至少有一点  ，使得 cf  )( )( ba  .二、典型例题 例 1 2( 1 )l o g ( 1 6 ) .xyx 求 函 数 的 定 义 域解 ,016 2  x,01 x,11 x214xxx,4221  xx 及).4,2()2,1( 即例 2 1( ) ( ) 2 , 0 , 1 .( ) .xf x f x x xxfx   设 其 中求解 利用函数表示法的无关特性 ,1xxt 令 ,1 1 tx 即 代入原方程得 ,1 2)()1 1( ttftf 12( ) ( ) ,11f x f xx即,11 1 uux 令 1 1 ux 即 代入。