推理证明算法复数复习资料(编辑修改稿)

推理证明算法复数复习资料(编辑修改稿)内容摘要：

出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 (已知条件、定理、定义、公理等 )为止．这种证明方法叫做分析法． ② 框图表示： Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →„→ 得到一个明显成立的条件 . 2． 间接证明 一般地，由证明 p⇒ q 转向证明： 綈 q⇒ r⇒ „ ⇒ t. t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定 綈 q 为假，推出 q 为真的方法，叫做反证法． 一个关系 综合法与分析法的关系 分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用． 两个防范 (1)利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命 题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的． (2)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用 “ 要证 (欲证 )„”“ 即要证 „”“ 就要证 „” 等分析到一个明显成立的结论 P，再说明所要证明的数学问题成立． 双基自测 1． (人教 A 版教材习题改编 )p＝ ab＋ cd， q＝ ma＋ nc bm＋ dn(m、 n、 a、 b、c、 d 均为正数 )，则 p、 q 的大小为 ( )． A． p≥ q B． p≤ q C． p＞ q D．不确定 解析 q＝ ab＋ madn ＋ nbcm ＋ cd≥ ab＋ 2 abcd＋ cd ＝ ab＋ cd＝ p，当且仅当 madn ＝ abcm 时取等号． 答案 B 2．设 a＝ lg 2＋ lg 5， b＝ ex(x＜ 0)，则 a 与 b 大小关系为 ( )． A． a＞ b B． a＜ b C． a＝ b D． a≤ b 解析 a＝ lg 2＋ lg 5＝ 1， b＝ ex，当 x＜ 0时， 0＜ b＜ 1. ∴ a＞ b. 答案 A 3．否定 “ 自然数 a， b， c 中恰有一个偶数 ” 时，正确的反设为 ( )． A． a， b， c 都是奇数 B． a， b， c 都是偶数 C． a， b， c 中至少有两个偶数 D． a， b， c 中至少有两个偶数或都是奇数 解析 ∵ a， b， c恰有一个偶数，即 a， b， c中只有一个偶数，其反面是有两个或两个以上偶数或没有一个偶数即全都是奇数，故只有 D正确． 答案 D 4． (2020广州调研 )设 a、 b∈ R，若 a－ |b|＞ 0，则下列不等式中正确的是 ( )． A． b－ a＞ 0 B． a3＋ b3＜ 0 C． a2－ b2＜ 0 D． b＋ a＞ 0 解析 ∵ a－ |b|＞ 0， ∴ |b|＜ a， ∴ a＞ 0， ∴ － a＜ b＜ a， ∴ b＋ a＞ 0. 答案 D 5．在用反证法证明数学命题时，如果原命题的否定事项不止一个时，必须将结论的否定情况逐一驳倒，才能肯定原命题的正确． 例如：在 △ ABC 中，若 AB＝ AC， P 是 △ ABC 内一点， ∠ APB＞ ∠ APC，求证：∠ BAP＜ ∠ CAP，用反证法证明时应分：假设 ________和 ________两类． 答案 ∠ BAP＝ ∠ CAP ∠ BAP＞ ∠ CAP 考向一 综合法的应用 【例 1】 ►设 a， b， c＞ 0，证明： a2b＋b2c＋c2a≥ a＋ b＋ c. [审题视点 ] 用综合法证明，可考虑运用基本不等式． 证明 ∵ a， b， c＞ 0，根据均值不等式， 有 a2b＋ b≥ 2a，b2c＋ c≥ 2b，c2a＋ a≥ 2c. 三式相加： a2b＋b2c＋c2a＋ a＋ b＋ c≥ 2(a＋ b＋ c)． 当且仅当 a＝ b＝ c 时取等号． 即 a2b＋b2c＋c2a≥ a＋ b＋ c. 综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立．因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性． 【训练 1】 设 a， b 为互不相等的正数，且 a＋ b＝ 1，证明： 1a＋ 1b＞ 4. 证明 1a＋ 1b＝  1a＋ 1b ( a＋ b)＝ 2＋ ba＋ ab≥ 2＋ 2＝ 4. 又 a 与 b 不相等．故 1a＋ 1b＞ 4. 考向二 分析法的应用 【例 2】 ►已知 m＞ 0， a， b∈ R，求证：  a＋ mb1＋ m 2≤ a2＋ mb21＋ m . [审题视点 ] 先去分母，合并同类项，化成积式． 证明 ∵ m＞ 0， ∴ 1＋ m＞ 0. 所以要证原不等式成立， 只需证明 (a＋ mb)2≤ (1＋ m)(a2＋ mb2)， 即证 m(a2－ 2ab＋ b2)≥ 0， 即证 (a－ b)2≥ 0，而 (a－ b)2≥ 0 显然成立， 故原不等式得证． 逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键． 【训练 2】 已知 a， b， m 都是正数，且 a＜ b. 求证： a＋ mb＋ m＞ ab. 证明 要证明 a＋ mb＋ m＞ ab，由于 a， b， m 都是正数， 只需证 a(b＋ m)＜ b(a＋ m)， 只需证 am＜ bm， 由于 m＞ 0，所以，只需证 a＜ b. 已知 a＜ b，所以原不等式成立． (说明：本题还可用作差比较法、综合法、反证法 ) 考向三 反证法的应用 【例 3】 ►已知函数 f(x)＝ ax＋ x－ 2x＋ 1(a＞ 1)． (1)证明：函数 f(x)在 (－ 1，＋ ∞ )上为增函数． (2)用反证法证明 f(x)＝ 0 没有负根． [审题视点 ] 第 (1)问用单调增函数的定义证明；第 (2)问假设存在 x0＜ 0 后，应推导出 x0的范围与 x0＜ 0矛盾即可． 证明 (1)法一 任取 x1， x2∈ (－ 1，＋ ∞ )，不妨设 x1＜ x2，则 x2－ x1＞ 0， ax2－x1＞ 1，且 ax1＞ 0. 所以 ax2－ ax1＝ ax1(ax2－ x1－ 1)＞ x1＋ 1＞ 0， x2＋ 1＞ 0，所以 x2－ 2x2＋ 1－ x1－ 2x1＋ 1＝ x2－ 2x1＋ 1－ x1－ 2x2＋ 1x2＋ 1x1＋ 1＝ 3x2－ x1x2＋ 1x1＋ 1＞ 0， 于是 f(x2)－ f(x1)＝ ax2－ ax1＋ x2－ 2x2＋ 1－ x1－ 2x1＋ 1＞ 0， 故函数 f(x)在 (－ 1，＋ ∞ )上为增函数． 法二 f′ (x)＝ axln a＋ 3x＋ 12＞ 0， ∴ f(x)在 (－ 1，＋ ∞ )上为增函数． (2)假设存在 x0＜ 0(x0≠ － 1)满足 f(x0)＝ 0，则 ax0＝－ x0－ 2x0＋ 1，又 0＜ ax0＜ 1，所以0＜－ x0－ 2x0＋ 1＜ 1，即 12＜ x0＜ 2，与 x0＜ 0(x0≠ － 1)假设矛盾．故 f(x0)＝ 0 没有负根． 当一个命题的结论是以 “ 至多 ” ， “ 至少 ” 、 “ 唯一 ” 或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是： ① 与已知条件矛盾； ② 与假设矛盾； ③ 与定义、公理、定理矛盾； ④ 与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些 “ 疑难 ” 问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器． 【训练 3】 已知 a， b 为非零向量，且 a， b 不平行，求证：向量 a＋ b 与 a－ b不平行． 证明 假设向量 a＋ b与 a－ b平行， 即存在实数 λ 使 a＋ b＝ λ(a－ b)成立， 则 (1－ λ)a＋ (1＋ λ)b＝ 0， ∵ a， b 不平行， ∴  1－ λ＝ 0，1＋ λ＝ 0， 得  λ＝ 1，λ＝－ 1， 所以方程组无解，故假设不成立，故原命题成立． 规范解答 24—— 怎样用反证法证明问题 【问题研究】 反证法是主要的间接证明方法，其基本特点是反设结论，导出矛盾，当问题从正面证明无法入手时，就可以考虑使用反证法进行证明 .在高考中，对反证法的考查往往是在试题中某个重要的步骤进行 . 【解决方案】 首先反设，且反设必须恰当，然后再推理、得出矛盾，最后肯定 . 【 示例 】 ►(本题满分 12 分 )(2020安徽 )设直线 l1： y＝ k1x＋ 1， l2： y＝ k2x－ 1，其中实数 k1， k2满足 k1k2＋ 2＝ 0. (1)证明 l1与 l2相交； (2)证明 l1与 l2的交点在椭圆 2x2＋ y2＝ 1 上． 第 (1)问采用反证法，第 (2)问解 l1与 l2的交点坐标，代入椭圆方程验证． [解答示范 ] 证明 (1)假设 l1与 l2不相交， 则 l1与 l2平行或重合，有 k1＝ k2， (2分 ) 代入 k1k2＋ 2＝ 0，得 k21＋ 2＝ 0.(4分 ) 这与 k1为实数的事实相矛盾，从而 k1≠ k2，即 l1与 l2相交． (6分 ) (2)由方程组  y＝ k1x＋ 1，y＝ k2x－ 1， 解得交点 P 的坐标 (x， y)为 x＝ 2k2－ k1，y＝ k2＋ k1k2－ k1.(9分 ) 从而 2x2＋ y2＝ 2 2k2－ k12＋k2＋ k1k2－ k12 ＝ 8＋ k22＋ k21＋ 2k1k2k22＋ k21－ 2k1k2 ＝k21＋ k22＋ 4k21＋ k22＋ 4＝ 1， 此即表明交点 P(x， y)在椭圆 2x2＋ y2＝ 1 上． (12分 ) 用反证法证明不等式要把握三点： (1)必须先否定结论，即肯定结论的反面； (2)必须从否定结论进行推理， 即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证； (3)推导出的矛盾可能 多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的． 【试一试】 已知数列 {an}的前 n 项和为 Sn，且满足 an＋ Sn＝ 2. (1)求数列 {an}的通项公式； (2)求证数列 {an}中不存在三项按原来顺序成等差数列． [尝试解答 ] (1)当 n＝ 1 时， a1＋ S1＝ 2a1＝ 2，则 a1＝ 1. 又 an＋ Sn＝ 2，所以 an＋ 1＋ Sn＋ 1＝ 2，两式相减得 an＋ 1＝ 12an， 所以 {an}是首项为 1，公比为 12的等比数列，所以 an＝ 12n－ 1. (2)反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为 ap＋ 1， aq＋ 1， ar＋ 1(p＜ q＜r，且 p， q， r∈ N*)， 则 212q＝ 12p＋ 12r，所以 22r－ q＝ 2r－ p＋ 1.① 又因为 p＜ q＜ r，所以 r－ q， r－ p∈ N*. 所以 ① 式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，所以假设不成立，原命题得证． 第 4 讲 数学归纳法 【高考会这样考】 1．数学归纳法的原理及其步骤． 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 ． 【复习指导】 复习时要抓住数学归纳法证明命题的原理，明晰其内在的联系，把握数学归纳法证明命题的一般步骤，熟知每一步之间的区别联系，熟悉数学归纳法在证明命题中的应用技巧． 基础梳理 1．归纳法 由一系列有限的特殊事例得出 一般结论 的推理方法，通常叫做归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为 完全 归纳法和 不完全 归纳法． 2． 数学归纳法 (1)数学归纳法：设 {Pn}是一个与正整数相关的命题集合，如果： ① 证明起始命题P1(或 P0)成立 ； ② 在假设 Pk 成立的前提下，推出 Pk＋ 1也成立，那么可以断定 {Pn}对一切正整数成立． (2)用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为： ① 归纳奠基：证明当取第一个自然数 n0时命题成立； ② 归纳递推：假设 n＝ k， (k∈ N*， k≥ n0)时，命题成立，证明当 n＝ k＋ 1 时，命题成立； ③ 由 ①② 得出结论． 两个防范 数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，第一步是递推的“ 基础 ” ，第二步是递推的 “ 依据 ” ，两个步骤缺一不可，在证明过 程中要防范以下两点： (1)第一步验证 n＝ n0时， n0不一定为 1，要根据题目要求选择合适的起始值． (2)第二步中，归纳假设起着 “ 已知条件 ” 的作用，在证明 n＝ k＋ 1 时，命题也成立的过程中一定要用到它，否则就不是数学归纳法．第二步关键是 “ 一凑假设，二凑结论 ” ． 三个注意 运用数学归纳法应注意以下三点：。