数学毕业论文-德萨格定理及其应用(编辑修改稿)

数学毕业论文-德萨格定理及其应用(编辑修改稿)内容摘要：

，所以二直线 ,BCBC相交。 交点既在 内也在 内。 因此点 X 存在且在 与的交 线上。 同理， CA与 ， AB与 也都相交且交点在 与的交线上 因此三点 X， Y， Z 在一直线上。 情况（ ii） ABC与 ABC  位于同一平面 内（图 3）。 通过 O 做不在 内的直 线P，在 P 上任意取两点 ,LL。 由直线 ,ALAL位于直线 P 与 AA所决定的平面内，所以直 线 AL与 相交，交点记以 A。 同理，直线 BL与 相交，交点记以 B。 直线 CL与 相交，交点记以 C。 三点 ,A B C  所决定的平面与 不同（例如 A不再 内）。 考虑三点形 LBC与LBC  ，二者不在同一平面内。 由于 ,LL BB CC  交于同一点 O，所以根据情况（ i）知 BC与 ， CL与 ， BL与 交于同一直线上的点，即 X， C， B，在新疆师范大 学 2020届 毕业论文 (设计 ) 6 一直线上。 因此 X 在平面 ABC  内。 但 X 也在平面 内，这说明 X 在两不同平面 与 ABC  的交 线上。 同理， Y， Z 也在平面 与 ABC  的绞线上，所以三点 X， Y， Z 在一直线上。 定理 (德萨格定理 逆定理 )如果两个三点形对应边的交点在 一 直线上 ,则对应顶点的连线交于一点． 3．德萨格定理在初等几何中的应用 应用徳萨格定理证明共点问题 例 1 试证三角形三条中线共点。 证明如图设三角形 ABC 三条中线 AD,BE,CF （图 4） 考察三点形 ABC 和 DEF，由于 BC∥ EF， CA∥ FD， AB∥ DE，即三点形 ABC 和 DEF的对应边的交点均为无穷远点从而都在无穷远直线上，故根据徳萨格定理的逆定理知它们对应顶点的连线 AD， BE， CF 交于一点，即三角形 ABC 的三条中线共点。 同时，此题是中学几何中 有关三角形重心的问题，用初等几何方法不够直观，也较繁杂，但用上述方法却很简便。 例 2 直线 AB 与 CD 交于 U， AC 与 BD 交于 V； U， V 分别交 AD， BC 于 F， G；BF 交 AC 于 L。 求证： LG， CF， AU 交于一点。 证明如以下图 6 在三角形 AFL 与三角形 UCG 中对应边 FL 与 CG， LA 与 UG，AF 与 UC 分别交于共线的三点 B， V， D。 根据徳萨格定理的逆定理知 AU， FC， LG交于点 O（如图三线形 AFL 与三角形 UCG 对应顶点连线 LG， FC， AU 共点 O 新疆师范大 学 2020届 毕业论文 (设计 ) 7 （图 5） 例 3 证明三角形的 垂心 ,重心 ,外心三点在一条直线上． 证明 已知三角形 ABC,依据几何作图作出其垂心 R,重心 S。