单元课程设计新改版(编辑修改稿)

单元课程设计新改版(编辑修改稿)内容摘要：

xx  趋于零时，对 应的函数增量也趋于零，即   0)()(limlim0000   xfxxfy xx， 则称函数 )(xf 在点 0x 处连续，或称 0x 是 )(xf 的一个连续点． 定义２ 若 )()(lim00 xfxfxx ，则称函数 )(xf 在点 0x 处连续． ② 左右连 续的概念 若 )()(lim00 xfxfxx ，则称函数 )(xf 在点 0x 处左连续；若 )()(lim00 xfxfxx ，则称函数 )(xf 在点 0x 处右连续． ⑵ 函数在一点连续的充分必要条件 函数 )(xf 在点 0x 处连续的充分必要条件是 )(xf 在点 0x 处既左连续又右连续． 由此可知，函数 )(xf 在点 0x 处连续，必须同时满足以下三个条件： ① 函数 )(xf 在点 0x 的某邻域内有定义， ② )(lim0 xfxx存在， ③ 这个极限等于函数值 )(0xf ． ⑶ 函数在 区间上连续的概念 在区间上每一点都连续的函数，称为在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连 续，该区间也称为函数的连续区间．如果连续区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续． 说明： （ 1） 点连续性的两个定义本质相同，只是叙述的角度不同。 （ 2） 函数在某点连续必须同时满足三个条件：① 函数在该点的某个邻域内有定义； ② 函数在该点的极限存在； ③ 极限值等于该点的函数值． （ 3）用“点连续性的两个定义”可证明初等函数的点连续性；用“左连续和右连续” 可证明分段函数在其分段 点处的连续性。 例 1 讨论函数 2)( 2  xxf 在 2x 处的连续性． 解   62lim)(lim 222   xxf xx，而 6)2( f ，即 )2()(lim2 fxfx ．因此，函数 2)( 2  xxf 在 2x 处连续． 例 2. 讨论函数.2,s in,2,c o s1)( xxxxxf 在点 2x 的连续性． 解 这是一个分段函数在分段点处的连续性问题．由于 )(xf 在点 2x 的左、右两侧表达式不同，所以先讨论函数 )(xf 在点 2x 的左、右连续性． 因为     212co s1co s1l i m)(l i m22 fxxf xx，   212s i ns i nl im)(l im22 fxxf xx， 所以 )(xf 在点 2x 左、右连续，因此 )(xf 在点 2x 连续． 例 ：   11lim)(lim00    xxf xx， 0lim)(lim 300    xxf xx． 虽然当 0x 时的左、右极限都存在，但当 0x 时，函数 )(xf 并不趋近于某一个确定的常数，因而当 0x 时 )(xf 的极限不存在，故函数 )(xf 在点 0x不连续． 讨论函数  .0, ,0,1)( 3 xx xxxf在点 0x 的连续性． 解 作出它的图象（如下图所示）， y 1 O 1 x 1 2 小结 、区间连续性定义及判定条件； 习题 2： 10 （ 1） （ 2） 《高等数学》单元课程设计 7 课 题 函数的连续性 间断点 授课班级 略 上课时间 2学 时 课型 理论课 教学目标 知识目标 ：理解函数在一点连续的概念，会判断间断点的类型，了解初等函数的连续性 能力目标 ：能用连续的定义描述专业现象的特征 情感目标 ：通过实际案例引导学生将数学思想融入实际生活中 任务描述 任务一： 会判断函数间断点的类型 任务二：会利用函数的连续性求极限 教学方法 多媒体教学，案例驱动，提问，启发，探讨。 教学参考资料 《高等数学》，侯风波主编，高等教育出版社， 2020. 教学过程设计 教学环节 教学内容 1案例分析导入课题 前面我们了解了函数在一点连续的情况 ,通过例 题看到了优势函数在某处是不连续的情况 ,如练习题 .此时我们称函数为间断 . 复习内容 如 : 讨论函数  .0, ,0,1)( 3 xx xxxf在点 0x 的连续性． 解 作出它的图象（如下图所示）， y 1 O 1 x 1 2 由上图可看出：   11lim)(lim00    xxf xx， 0lim)(lim 300    xxf xx． 虽然当 0x 时的左、右极限都存在，但当 0x 时，函数 )(xf 并不趋近于某一个确定的 常数，因而当 0x 时 )(xf 的极限不存在，故函数 )(xf 在点 0x 不连续． 称此处函数间断 . 点 若函数 )(xf 在点 0x 处不连续，则称点 0x 为函数 )(xf 的间断点． 1． 间断点的分类 设 0x 为 )(xf 的一个间断点，如果当 0xx 时， )(xf 的左极限、右极限都存在，则称 0x 为 )(xf 的第一类间断点；否则，称 0x 为 )(xf 的第二类间断点． 对于第一类间断点有以下两种情形： ① 当 )(lim0 xfxx 与 )(lim0 xfxx 都存在，但不相等时，称 0x 为 )(xf 的跳跃间断点； ② 当 )(lim0 xfxx存在，但极限不等于 )(0xf 时，称 0x 为 )(xf 的可去间断 . 例 4 讨论函数  ,1s in ,)(xxxxf 00xx， 在点 0x 处的连续性． 解 由于函数在分段点 0x 处两边的表达式不同，因此，一般要考虑在分段点 0x 处的左极限与右极限． 因而有 01s i nlim)(lim,0lim)(lim0000    xxxfxxf xxxx， 而 ,0)0( f 即 0)0()(lim)(lim 00    fxfxf xx ， 由函数在一点连续的充要条件知 )(xf 在 0x 处连续． 例 5 计算下列极限：  xex lnarcsinlim 解 因为  xlnarcsin 是初等函数，且 ex 是它的定义区间内的一点，由定理 3，有     21a r c s i nlna r c s i nlna r c s i nl im  exex． 例 6 计算下列极限： xxx11lim0。 解 所给函数是初等函数，但它在 0x 处无定义，故不能直接应用定理 3．易判断这是一个“ 00 ” 型的极限问题．经过分子有理化，可得到一个在 0x 处的连续函数，再计算极限，即  xxx 11lim0    11lim0 xx xx 21101 111 1lim 0  xx 4 初等函数 的 连续 性 定理 基本初等函数在其定义域内是连续的．一切初等函数在其定义区间内都是连续的． 最大值和最小值存在定 理 闭区间上连续函数一定能取得最大值和最小值． 根的存在定理 设 )(xf 为闭区间  ba, 上的连续函数，且 )()( bfaf 与 异号，则至少存在一点 ),( ba ，使得 0)( f ． 介值定理 设 )(xf 是闭区间  ba, 上连续函数，且 )()( bfaf  ，则对介于)()( bfaf 与 之间的任意一个数  ，则至少存在一点 ),( ba )(f ． 判断函数连续性的方法 由于初等函数在它的定义区间内总是连续，所以函数的连续性讨论多指分段函数在分段处的连续性． 小结 、区间连续性定义及判定条件； ； ； 点与判定方法；。 作业 习题 2： 10 （ 1） （ 2） 《高等数学》单元课程设计 8 课 题 《极限》习题课 授课班级 略 上课时间 2学时 课型 理论课 教学目标 知识目标： 掌握本模块的知识要点 能力目标： 能利用求函数极限的各种方法求极限 情感目标： 通过求函数极限 的 练习，培养学生的钻研精神，强化逻辑思维的能力 任务描述 任务一： 掌握本模块的知识要点 任务二： 能利用求函数极限的各种方法求极 教学方法 多媒体教学，案例驱动，提问，启发，探讨。 教学参考资料 《高等数学 》，侯风波主编，高等教育出版社， 2020. 教学过程设计 教学环节 教学内容 一、知识要点 一、知识要点 函数的极限，左极限，右极限，数列的极限，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，在一点连续，连续函数，间断点，第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点 . (1) 1sinlim0  口口口， (2) e)11(lim0  口口 口(口 代表同一 变量 ). 方法 ⑴ 利用函数的连续性求极限； ⑵ 利用四则运算法则求极限； ⑶ 利用两个重要极限求极限； ⑷ 利用无穷小替换定理求极限； ⑸ 利用分子、分母消去共同的非零公因子求 00 形式的极限； ⑹ 利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求  形式的极限； ⑺ 利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限； ⑻ 利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限 . 左右极限与极限的关系， 单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性，极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质 . 二、例题精解 二、例题精解 例 1 求下列极限 : (1) ))( c o ss in(limta n2224πxx xxx ； (2) 1)12 32(lim   xx xx (3) 3111lim xxx  (4) )1s ins in(lim0 xxxxx ； (5) )2s in (lim xxx  ； (6) xxxx 1sin53lim2. 解 (1)由于讨论函数 xxxxxf ta n222 )( c o ss in)(  在 4πx 处有定义，而且在 4πx 处 连 续 ， 所 以 有])( c o ss in[lim ta n2224πxx xxx 4πta n222 )4π( c o s)4π( s in)4π( 222 )22()22(16π  116π2  ． (2) 123lim ( )21xxxx  12 1 2lim ( )21 xxx x   12lim (1 )21xx x   （这是 1 型，设法将其化为 口口 ）口（ 11lim  ） 11221lim (1 )12xx x2121 )2111(lim)2111(lim   xx xxx 212。