毕业论文_浅谈中学数学中的函数与方程思想(编辑修改稿)

毕业论文_浅谈中学数学中的函数与方程思想(编辑修改稿)内容摘要：

1a =1, 2a=6, 3a =11,且 (5n8) 1nS (5n+2) nS =An+B, n=1,2,3,„ ,其中 A,B 为常数 . (Ⅰ )求 A与 B的值 . (Ⅱ )证明数列 na 为等差数列 . (Ⅲ )证明不等式 51mn m na a a对任何正整数 m、 n都成 立 . 解析 :(Ⅰ )由 1a =1, 2a =6, 3a =11,得 1S =1, 2S =7, 3S =18. 把 n =1,2 分别代入 (5n8) 1nS (5n+2) nS =An B ,得 282 48ABAB    解得 , A =20, B =8. (Ⅱ )由 (Ⅰ )知 ,5n( 1nnSS  )8 1nS 2 nS =20n8,即 5n 1na 8 1nS 2 nS =20n8, ① 又 5(n+1) 2na 8 2nS 2 1nS =20(n+1)8. ② ② ①得 :5(n+1) 2na 5n 1na 8 2na 2 1na =20, 即 (5n3) 2na (5n+2) 1na =20. ③ 又 (5n+2) 3na (5n+7) 2na =20 ④ ④ ③得 :(5n+2)( 3 2 12n n na a a  ) =0, 3 2 12n n na a a  =0 ∴ 3 2 2 1 3 2........n n n na a a a a a        =5, 又 21aa =5, 因此 ,数列 {an}是首项为 1,公差为 5的等差数列 . (Ⅲ )不妨设 m≤ n,则可设左边 = f(m,n)=      2 0 2 0 3 65 5 4 5 4 5 4mnm n m n   ≥     2 20 20 365 5 4 5 4 5 4mnn n n   =  ,gmn 是关于 m的一次函数且单调递增． 所以 f(m,n) ≥ g(1,n)=  220 165 5 4 5 4nnn  显然 g(1,1)= 4 151而2n 时， f(1,n)≥ g(1,n)  20 165 5 4nnn=    10 4 10 12 110 4nnn    因此 ,不等式 51mn m na a a对任何正整数 m、 n都成立 . 评析 :试题的第一问只要简单的赋值即可得到方程组来解决。 试题的第二问也是 浅谈中学数学中的函数与方程思想 11 利用方程组通过消元来获解。 试题的第三问通过变换 ,可视为自变量 m 的一次函数 ,再利用函数的单调性将问题迎刃而解。 以上三问通过运用函数与方程的思想方法都得到了解决 ,充分说明了函数与方程的思想方法的实用性和重要性 . 函数 f(x)＝  nax b (n∈ N*)与二项式定理是密切相关的． 用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题，运用不定 方程的解题思想也可以解决二项式定理． 例 1．求 证 0 1 1 0.......k k k km n m n m n m nC C C C C C C     证明：令    1 mnf x x  显然 kmnC 是  1 mnx  展开式中 kx 的系数      1+ x 1mnf x x=   0 1 0 1. . . . . . . . . .m m n nm m m n n nC C x C x C C x C x      其中 kx 的系数为 0 1 1 0.......k k km n m n m nC C C C C C   故 0 1 1 0.......k k k km n m n m n m nC C C C C C C     评析：一般的，利用二项式定理构造函数      nf x a x n  应用广泛，特 别是在证明组合数恒等式，组合数求和，证明不等式，证明整除等问题中用得较多． 例 2：求  100332x 展开所得的关于 x 的多项式中，系数为有理数的项数． 解析：有理项的求法：解不定方程．  100 31 1 0 0 32 rrrrT C x   =  100 10032100 32rr rrCx  依题意有 100r ,23r z 所以 r为 3和 2 的倍数，即为 6的倍数，又因 0≤ r≤ 100 所以 r=0,6„„ 96构成首项为 0，公差为 6，末项为 96 的等差数列． 由 96=0+（ n1） 6得 n= 17 项． 评析：此题若一项一项去找较麻烦，运用不定方程思想及等差数列的性质则很容易解决． 函数与方程思想在三角解题中有着十分广泛的应用 . 在三角学习中，我们要善于根据问题的特征，合理地展开联想，巧妙地实施转化，增强运用函数与方程思想解题的意识，使解题的水平得到大幅度的提高 .“数学的精神和本质在于它的思想和方法”，道理就在于此． 例    2c o s s i n 0f x x a x b a   的最大值为 0，最小值为 4，求 a,b 的值． 解：因为    2c o s s i n 0f x x a x b a   = 2s in s in 1x a x b    =  2s in s in 1x a x b    浅谈中学数学中的函数与方程思想 12 = 2 2s in 124aaxb     ① 若 2a ，则当 sin 1x 时， f(x)有最大值． 当 sin 1x 时， f(x)有最小值 所以2 22 21 1 0241 1 424aa baa b                  解得 22ab  不符合 2a ，应舍去． ② 若 02a，则当 sin 2ax 时， f(x)有最大值 当 sin 1x 时， f(x)有最小值 所以22 21041 1 424a baa b            解得 22ab 符合条件． 综合可得： 22ab  评析：将三角函数化为关于 sin , cos , tanx x x的简单复合函数，是三角函数性质 的又一基本性质． 小结：三角函数是一类特殊的函数 ,高考主要在三角函数的图像、性质以及结 合三角变换求三角函数值等方面进行考查 .判断函数单调性的问题 ,可以结合导数的相关知识进行解答 . 以向量为载体且融合函数的考题频频出现 .在解答向量相关问题中 ,如能巧妙地运用函数思想方法 ,常常可收到事倍功半之 效 . 例 1. 31( , )22a 13( , )22b 若存在三个实数 s、 t、 k,使 2()x a t k b   ，y sa tb  且 xy (Ⅰ )求函数 s=f(t)。 (Ⅱ )若 s=f(t)在 [1,+∞ )上递增 ,求 k的范围 . 解： (Ⅰ )易知 1ab 0ab 又由 xy 得 2( ) 0a t k b s a tb           化简得 s=f(t)= 3t kt (Ⅱ ) 39。 2( ) 3f t t k,因 f(t)在 [1,+∞ )上递增 ,则当 t≥ 1 时 , 39。 ()ft≥ 0 恒 浅谈中学数学中的函数与方程思想 13 成立 .由 39。 ()ft≥ 0 23tk ≥ 0 k≤ 3t 只要 k≤ ( 23t )min=3 即可 .故 k  ,3 评析：①将向量间的几何关系 ,通过坐标运算数量化 ,构建函数 ,回归函数问题，解该题的思维取向。 ②该题凸现用导数研究函数、不等式的工具作用 ,具有思路清晰、明快简洁等特点 ,注重其方法 领会要领 ,强化应用意识。 ③分离变量 ,利用函数的最值解恒成立问题 ,是一种重要的解题策略 . 解析几何中的许多问题，可运用函数与方程思想求解． 例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉 及到二次方程与二次函数的有关理论． 例 m: 1y kx和双曲线。