直线圆的位置关系考试难点总结(编辑修改稿)

直线圆的位置关系考试难点总结(编辑修改稿)内容摘要：

    ， 且因为△ PQR 是 正 三角 形 ， 则， 第 12 页 共 27 页 即      r x x y y r21 2 2 1 2 2 222 1 1 4        ，得 r2 24。 代入方程  x r x2 21 1 1 0    ，即 x x2 4 1 0  。 由方程组 x xxy2 4 1 01  ，得： xy112 32 3  或 xy222 32 3  ， 所以，所求 Q、 R 的坐标分别为    2 3 2 3 2 3 2 3   ， ， ， 点评：圆是最简单的二次曲线，它在解析几何及其它数学分支中都有广泛的应用。 对一些数学问题，若能作一个辅助圆，可以沟通题设与结论之间的关系，从而使问题得解，起到铺路搭桥的作用。 五．思维总结 1．关于直线对称问题： （ 1）关于 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 对称问题：不论点，直线 与曲线关于 l 对称问题总可以转化为点关于 l 对称问题，因为对称是由平分与垂直两部分组成，如求 P（ x0 ， y0）关于 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 对称点 Q（ x1 ， y1）．有1010 xx yy ＝－ BA （ 1）与 A178。 2 10 xx＋ B178。 2 10 yy＋ C ＝ 0。 （ 2）解出 x1 与 y1 ；若求 C1 ：曲线 f（ x ， y）＝ 0（包括直线）关于 l ： Ax ＋ By ＋ C1 ＝ 0 对称的曲线 C2 ，由上面的（ 1）、（ 2）中求出 x0 ＝ g1（ x1 ， y1）与 y0 ＝ g2（ x1 ，y1），然后代入 C1 ： f [g1（ x1 ， y1）， g2（ x2 ， y2） ]＝ 0，就得到关于 l 对称的曲线 C2 方程： f [g1（ x ， y）， g2（ x ， y） ]＝ 0。 （ 3）若 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 中的 x ， y 项系数 |A|＝ 1， |B |＝ 1．就可以用直接代入解之，尤其是选择填空题。 如曲线 C1 ： y2 ＝ 4 x － 2 关于 l ： x － y － 4＝ 0 对称的曲线 l2 的方程为： (x － 4) 2 ＝ 4（ y ＋ 4）－ 2．即 y 用 x － 4 代， x 用 y ＋ 4 代，这样就比较简单了。 （ 4）解有关入射光线与反射光线问题就可以用对称问题来解决。 点与圆位置关系： P（ x0 ， y0）和圆 C ： (x － a) 2 ＋ (y － b) 2 ＝ r2。 第 13 页 共 27 页 ①点 P 在圆 C 外有 (x0 － a) 2 ＋ (y0 － b) 2 ＞ r2； ②点 P 在圆上： (x0 － a) 2 ＋ (y0 － b) 2 ＝ r2； ③点 P 在圆内： (x0 － a) 2 ＋ (y0 － b) 2 ＜ r2。 3．直线与圆的位置关系： l ： f1（ x ， y）＝ 0．圆 C ： f2（ x ， y）＝ 0 消 y 得 F（ x2）＝ 0。 （ 1）直线与圆相交： F（ x ， y）＝ 0 中  ＞ 0；或圆心到直线距离 d ＜ r。 直线与圆相交的相关问题：①弦长 |AB| ＝ 21 k 178。 |x1 － x2| ＝21 k 178。 21221 4)( xxxx  ，或 |AB|＝ 2 22 dr  ；②弦中点坐标（ 2 21 xx ， 2 21 yy ）；③弦中点轨迹方程。 （ 2）直线与圆相切： F（ x）＝ 0 中  ＝ 0，或 d ＝ r ．其相关问题是切线方程．如 P（ x0 ， y0）是圆 x2 ＋ y2 ＝ r2 上的点，过 P 的切线方程为 x0x ＋ y0y ＝ r2 ，其二是圆外点 P（ x0 ， y0）向圆到两条切线的切线长为 22020 )()( rbyax  或 22020 ryx  ；其三是 P（ x0 ， y0）为圆 x2 ＋ y2 ＝ r2 外一点引两条切线，有两个切点 A ， B ，过 A ，B 的直线方程为 x0x ＋ y0y ＝ r2。 （ 3）直线与圆相离： F（ x）＝ 0 中  ＜ 0；或 d ＜ r ；主要是圆上 的点到直线距离 d 的最大值与最小值，设 Q 为圆 C ： (x － a) 2 ＋ (y － b) 2 ＝ r2 上任一点， |PQ|max ＝ |PC|＋ r ； |PQ|min ＝ |PQ|－ r ，是利用图形的几何意义而不是列出距离的解析式求最值． 4．圆与圆的位置关系：依平面几何的圆心距 |O1O2|与两半径 r1 ， r2 的和差关系判定． （ 1）设⊙ O1 圆心 O1 ，半径 r1 ，⊙ O2 圆心 O2 ，半径 r2 则： ①当 r1 ＋ r2 ＝ |O1O2|时⊙ O1 与⊙ O2 外切；②当 |r1 － r2|＝ |O1O2|时，两圆相切；③当 |r1 － r2|＜ |O1O2|＜ r1 ＋ r2 时两圆相交；④当 |r1 － r2|＞ |O1O2|时两圆内含；⑤当 r1 ＋ r2 ＜ |O1O2|时两圆外离。 （ 2）设⊙ O1 ： x2 ＋ y2 ＋ D1x ＋ E1y ＋ F1 ＝ 0，⊙ O2 ： x2 ＋ y2 ＋ D2x ＋ E2y ＋ F2 ＝ 0。 ①两圆相交 A 、 B 两点，其公共弦所在直线方程为（ D1 － D2） x ＋（ E1 － E2） y ＋第 14 页 共 27 页 F1 － F2 ＝ 0； ②经过两圆的交点的圆系方程为 x2 ＋ y2 ＋ D1x ＋ E1y ＋ F1 ＋ （ x2 ＋ y2 ＋ D2x ＋E2y ＋ F2）＝ 0（不包 括⊙ O2 方程）。 普通高中课程标准实验教科书 — 数学 [人教版 ] 高三新 数学 第一轮复习教案（讲座 13） — 直线、圆的方程 一．课标要求： 1． 直线与方程 （ 1） 在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素 ； （ 2） 理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式 ； （ 3） 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系 ； 2． 圆与方程 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌 握圆的标准方程与一般方程。 二．命题走向 直线方程考察的重点是直线方程的特征值（主要是直线的斜率、截距）有关问题，可与三角知识联系；圆的方程，从轨迹角度讲，可以成为解答题，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定圆的方程。 预测 20xx 年对本讲的考察是： （ 1） 2 道选择或填空，解答题多与其他知识联合考察，本讲对于数形结合思想的考察也会是一个出题方向； （ 2）热点问题是直线的倾斜角和斜率、直线的几种方程形式和求圆的方程。 三．要点精讲 1．倾斜角：一条直线 L 向上的方向与 X 轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角 ，范围为  ,0。 2．斜率：当直线的倾斜角不是 900 时，则称其正切值为该直线的斜率，即 k=tan。 当直线的倾斜角等于 900 时，直线的斜率不存在。 过两点 p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1≠ x2)的直线的斜率公式 :k=tan1212 xx yy  （若 x1＝ x2，则直线 p1p2 的斜率不存在，此时直线的倾斜角为 900）。 4．直线方程的五种形式确定直 线方程需要有两个互相独立的条件。 确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。 名称 方程 说明 适用条件 斜截式 y=kx+b k—— 斜率 倾斜角为 90176。 的直线不第 15 页 共 27 页 b—— 纵截距 能用此式 点斜式 yy0=k(xx0) (x0， y0)—— 直线上 已知点， k—— 斜率 倾斜角为 90176。 的直线不能用此式 两点式 121yy yy =121xx xx (x1， y1)， (x2， y2)是直线上两个已知点 与两坐标轴平行的直线不能用此式 截距式 ax+by=1 a—— 直线的横截距 b—— 直线的纵截距 过（ 0， 0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式 一般式 Ax+By+C=0 BA ， AC ， BC 分别为斜率、横截距和纵截距 A、 B 不能同时为零 直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于 x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴 的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。 5．圆的方程 圆心为 ),( baC ，半径为 r 的圆的标准方程为： )0()()( 222  rrbyax。 特殊地，当 0ba 时，圆心在原点的圆的方程为： 222 ryx 。 圆 的 一 般 方 程 022  FEyDxyx ， 圆 心 为 点 )2,2( ED ，半径2 422 FEDr  ，其中 0422  FED。 二元二次方程 022  FEyDxCyBxyAx ，表示圆的方程的充要条件是：①、 2x 项 2y 项的系数相同且不为 0，即 0CA ；②、没有 xy 项，即 B=0；③、0422  AFED。 四．典例解析 题型 1：直线的倾斜角 例 1． （ 1995 全国， 5）图中的直线 l l l3 的斜率分别为 kk k3，则（ ） A． k1＜ k2＜ k3 B． k3＜ k1＜ k2 C． k3＜ k2＜ k1 D． k1＜ k3＜ k2 图 第 16 页 共 27 页 答案： D 解析：直线 l1 的倾斜角 α 1 是钝角，故 k1＜ 0，直线 l2 与 l3 的倾斜角 α α 3 均为锐角，且 α 2＞ α 3，所以 k2＞ k3＞ 0，因此 k2＞ k3＞ k1，故应选 D。 点评： 本题重点考查直线的倾斜角、斜率的关系，考查数形结合的能力。 例 2． 过点 P（ 2， 1）作直线 l 分别交 x 轴、 y 轴的正半轴于 A、 B 两点，求 PA PB178。 | | 的值最小 时直线 l 的方程。 解析：依题意作图，设∠ BAO＝  ， 则 PA PB 1 2s in cos ，    PA PB178。 2 2 4 4 2s in cos s in cos s in    ， 当 sin2 1 ，即  45 时 PA PB178。 | | 的值最小，此时直线 l 的倾斜角为 135176。 ， ∴斜率 k l   tan 135 1。 故直线 l 的方程为    y x   1 1 2178。 ，即 x y  3 0。 点评：求直线方程是解析几何的基础，也是重要的题型。 解这类题除用到有关概念和直线方程的五种形式外，还要用到一些技巧。 题型 2：斜率公式及应用 例 3。