数学分析之不定积分(编辑修改稿)

数学分析之不定积分(编辑修改稿)内容摘要：

 .1 Ce xx  121(1 ) x xe d xx例 20 求 .258 12 dxxx 解 dxxx  25812 dxx  9)4(12dxx 13413122    341341312xdx.3 4a rc t a n31 Cx 例 21 求 .1 1 dxe x 解 dxe x 1 1 dxe ee xxx   11dxee xx   11 dxeedx xx  1)1(1 1 xx ededx  .)1l n ( Cex x 例 22 求 .1232 1 dxxx 解   dxxxxx xx   12321232 1232dxxdxx   12413241)12(1281)32(3281   xdxxdx    .1212132121 33 Cxx 例 23 求 解 .co s1 1  dxx  dxxco s1 1      dxxx x c o s1c o s1 c o s1  dxxx2co s1 co s1   dxx x2si nco s1  )( si nsi n 1si n 1 22 xdxdxx.si n1co t Cxx 例 24 求 解 .c o ssi n 52  xdxx  xdxx 52 c o ssi n   )(s inc o ss in 42 xxdx  )( si n)si n1(si n 222 xdxx  )( si n)si nsi n2( si n 642 xdxxx.si n71si n52si n31 753 Cxxx 例 25 求 解 .2c o s3c o s xdxx) ] ,c o s ()[ c o s (21c o sc o s BABABA ),5co s( co s212co s3co s xxxx   dxxxx d xx )5co s( co s212co s3co s.5si n101si n21 Cxx 解 例 26 设 求 . ,c o s)(s i n 22 xxf  )(f令 xu 2s in ,1c o s 2 ux ,1)( uuf  duuuf   1)( ,21 2 Cuu .21)( 2 Cxxxf 例 27 求 解 .2a r csi n412dxxxdxxx2a r c si n412 22ar c s in2112xdxx)2( a r c si n2a r c si n1 xdxl n | a r c si n | .2x C例 28 求 解 .4 23 dxxx 令 tx s in2 t dtdx c o s2   2,2tdxxx  23 4   t d ttt c o s2si n44si n2 23  t d tt 23 co ssi n32  t d ttt 22 c o s)c o s1(si n32  tdtt c o s)c o s( c o s32 42  Ctt  )co s51co s31(32 53t2 x24 x    .451434 5232 Cxx  积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定 . 说明例 29 求 dxxx 251 （三角代换很繁琐） 21 xt 令 ,122  tx ,tdtxdx dxxx  251  t d ttt  22 1  dttt  12 24Cttt  35 3251 .1)348(151 242 Cxxx 解 例 30 求 解 .1 1 dxe x xet  1令 ,12  te x,122 dtt tdx dxe x 1 1 dtt  122 dttt  1111Ctt  11ln   .11ln2 Cxe x  ,1ln 2  tx说明 当分母的阶较高时 , 可采用 倒代换 .1tx 例 31 求 dxxx  )2(17令 tx 1 ,12 dttdx dxxx  )2( 17dtttt   27121  dttt7621Ct  |21|ln141 7 .||ln21|2|ln141 7 Cxx 解 例 32 求 解 .11 24 dxxx dxxx  11 24令 tx 1 ,12 dttdx  dxttt   22411111（分母的阶较高） dttt  231222121 dttt 2tu   duuu121   duu u1 1121   )1(11 121 uduu  Cuu  1131 3.1131 232Cxxxx  说明 当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令 （其中 为各根指数的 最小公倍数 ） lk xx , ntx n例 33 求 .)1(13 dxxx 解 令 6tx  ,6 5 dttdx dxxx  )1( 1 3  dttt t )1( 6 235  dttt 2216   dttt 221116   dtt 21116Ctt  ]ar c tan[6 .]ar c tan[6 66 Cxx 例 34 求积分 .a r c t a n xdxx解  xdxx a r c t a n )( a r ct a n2a r ct a n222xdxxx dxxxxx 222112a rc t a n2  dxxxx )1 11(21a r cta n2 22 .)a r cta n(21a r cta n22Cxxxx 例 35 求积分   .1a r ct a n2 dxx xx解   21a r c t a n xxd)( a r c t a n1a r c t a n1 22 xdxxx  dxxxxx 222 1 11a rc t a n1  2a r c ta n1xx dxxdxxxx   22 1 1a rc t a n1令 tx ta ndxx  21 1  t d tt22 sect a n11 td tse cCtt  )tanl n (s e c Cxx  )1l n ( 2  dxx xx 21a rc t a nxx ar c tan1 2 .)1l n ( 2 Cxx 例 36 已知 )( xf 的一个原函数是 2xe  , 求   dxxfx )( . 解   dxxfx )(  )( xx d f ,)()(  dxxfxxf,)( 2   Cedxxf x  ),()( xfdxxf 两边同时对 求导 , 得 x ,2)( 2xxexf   dxxfx )(  dxxfxxf )()(222 xex  .Ce  思考题解答 dxxxxd )ln1()ln( dxxxx p )1( l n)ln(   )ln()ln( xxdxx p1,)lnl n (1,1)ln( 1pCxxpCpxx p思考题 求积分 .)1( ln)ln( dxxxx p 一、 填空题：1 、 若 CxFdxxf )()( 而 )( xu  则 duuf )( _ __ __ __ __ __ __ __ ；2 、 求   )0(22adxax 时，可作变量代换 _ __ __ __ _ __ __ __ __ __ __ _ ，然后再求积分；3 、 求dxxx211时可先令x__ __ __ _ __ ；4 、 dxx __ __ _ )1(2xd  ；5 、 dxex2 ___ )1( 2xed ；6 、 xdx____ )ln53( xd  ；练习题一 7 、 291 xdx= __ _ _ )3a rc t a n( xd ；8 、 21 xx d x____ )1(2xd  ；9 、 dttts in__ __ __ __ __ __ __ __ _ ；10 、  222xadxx__ __ __ __ __ __ __ _ .二、 求下列不定积分： （第一类换元法）1 、  dxxaxa ； 2 、 )ln(lnln xxxdx ；3 、221.1t a nxxdxx ； 4 、 xxeedx；5 、 dxxx321 ； 6 、dxxxx4s in1co ss in；7 、dxxxxx3co ss i nco ss i n； 8 、dxxx2491；9 、dxxx239； 10 、 )4(6xxdx；11 、dxxxx)1(a rct a n ； 1 2 、dxxexxx)1(1；13 、dxxx2a r c c o s2110； 14 、  dxxxxs inc o st a nln.三、 求下列不定积分：（第二类换元法） 1 、21 xxdx； 2 、32)1( xdx； 3 、 xdx21； 4 、dxxaxx2. 练习题一答案 一、 1 、 CuF )(。 ； 2 、 tax s ec 或 tax c s c ； 3 、t1； 4 、21； 5 、 2 ； 6 、51； 7 、31； 8 、  ； 9 、 Ct co s2 ； 10 、 Cxaaxaxa )( a r c s in22222.二、 1。