数学分析之实数集与函数(编辑修改稿)

数学分析之实数集与函数(编辑修改稿)内容摘要：

S S令 则 有 最, 1 , 2 , .nxn 大 值02 . N , { 0 , 1 , , 9 } , 1 , 2 , ,ia a i    使.,2,1,., 10   naaaxn nn0 1 23 . . , .a a a令 则 是 正 规 小 数 表 示.s S 是有上界的集合 ,从而 S+ 也是有上界的集合 , 0 1 2 0N , , . ,k x S x b b b b因 此 使 若 至 多    { 0 , 1 , 2 , , } ,k可 取 { 0 , 1 , 2 , , 9 } ,ib 至 多 可 取 因 此( 1 ) 1 0 , ,nnnS k x至 多 有 个 数 从 而 必 有 最 大 值.,2,1 n012 . . ,n n nx a a a S若 是 最 大 值 则0 1 2 0 1 0 1. , . . ,nnx b b b S b b b a a a   ,.. 110110   nn aaabbb 因此1 0 1 1 1..n n nx a a a S  从 而 是 中 最 大 值01{ | 0 , 1 , } . , 1 , 2 , .i n na i x a a a n   因 此 使0 1 23 . . .a a a 令0 1 1, . ,nnn x a a a b S x    由 于 由 正 规 小 数, 0 , 0 .nkkb 表 示 必 有 使 由 于,.. 110110 knnnknnnkn bbaaaaaaaax   1 2 0 1 2, , 0 , .n n n ka a a a a a   因 此 不 全 为 即是正规小数表示 . .s u S,.)1( 210 Sbbbx  0 ,。 0 , .x x x x S若 则 若 则    0 1 0 1 0 1. m a x { . | . } ,nna a a b b b x b b S   由 于0 1 0 1. . . .nna a a b b b n x y则 由 的 任 意 性 得...)2( 210210  aaa 0 1 2 0 1 2 1 1, . . , .n n n nn a a a a a       使0 1 2 1 0 1 2. . .nx a a a a      则.s u p S因此0 1 1 2, . ,n n nx S x a a a a b  设.}0|{  xSxxS ，证法二 不妨设 S  中 每 个 数 都 用 正 规 的 十 进 位 小 数 表 示,. 210  naaaax ,的整数部分取出来的每个数把 xS}..|{ 1000  SaaaxaM n 则令的一个上界是若 ,1][,  MKSM0 { 0 , 1 , 2 , , } .MK0 0 0, m a x .M n M因 此 是 有 限 集 必 有 最 大 值 令0 0 1 2{ | . } ,S x x S x n a a  ，0 0 0 0 0 0. ,。 , 1 .S x S x n x S x n则 设        1 1 0 1 2 0{ | . } .M a x n a a S  1 1 1{ 0 , 1 , 2 , , 9 } , m a x .M n M由 于 因 此 有 令1 0 1 2{ | , . } ,S x x S x n n a  1 1 1 1 0 1, , .。 ,S x S x n n x S      则011..10x n nNkn 一 般 地 用 归 纳 法 可 证 明 存 在 及0 1 1{ | , . } ,k k kS x x S x n n n a  01, , .。 ,k k k k kS x S x n n n x S      则011..10k kx n n n0 1 2.. kn n n n 令s up .S 以 下 证 明.,0,)i(  xxSx 则若0 , , .x x S x   若 则 亦 有011.10k kx S x n n n此 与 , 矛 盾 .   11 ,kkan而 0 1 2 0 1 2, . . ,kkk a a a a n n n n使01. , ,kx a a a x 设 若 则事实上 , 01( ii ) , . .k       设0 1 0 1, . .kkk n n n  则 使 ，11 .kkn 而1 0 1 1 0 1 1. . .k k kx n n n        1 1 1 0 1 1, . .k k k kx S x n n n由 定 义 则     ( i ) ( ii ) s u p .S由 的 证 明 , 我 们 得 到 ., yxByAx  有:., 满足为非空数集设 BA例 3 .i nfs up BA 且证明： 数集 A 有上确界，数集 B 有下确界， 由定义 , 上确界 sup A 是最小的上界 , 因此 , 任意 证 由假设 ,B 中任一数 y 都是 A 的上界 ,A 中的任 一数 x 都是 B 的下界 . 因此由确界原理 , A 有上确 界 , B 有下确界 . 例 4 ,R 中非空有上界的数集是设 S( i ) R , { | } ,a S a x a x S    若 定 义 则s up { } s up。 S a S a    +( ii ) R , { | } ,b b S b x x S若 定 义 则s up { } s up .b S b SyB。 sup A y. 这样 , sup A 又是 B 的一个下界 , 而 inf B 是最大的下界 , 因此 sup A inf B. 证 ,)i( aSax  ,Sx 其中 必有 ,s up Sx 于是 .s up aSax ,0 0 Sx  对于 使 ,s up0  Sx 而 ,0 aSax 且 ,)( s up0  aSax因此 .s up)s up ( aSaS ,)ii( bSbx  其中 ,Sx 必有 ,s up Sx  于是 .s up Sbbx 0 , 0 ,b    令则存在 ,0 Sx  使 0 s u p ,xS  因此 0 s u p s u p ,b x b S b b S   .s up}s up { SbbS 四、非正常确界。 R,)i(.1  aa规定s u p N , in f { 2 | N } .n n      例 12. 推广的确界原理 : 非空数集必有上、下确界 . .s u p,)ii( SS 记无上界若.i n f, SS 记无下界若作业 习题 4 167。 3 函数概念 一、函数的定义 二、函数的四则运算 三、复合函数 四、反函数 五、初等函数 “用函数来思考 ” 是大数学家克莱因领导的数学教育改革运动的口号。 函数是数学中最重要的基本概念，也是数学分析的研究对象。 函数的思想，就是运用函数的方法，必要时引入辅助函数，将常量视为变量、化静为动、化离散为连续，将所讨论的问题转化为函数问题加以解决的一种思想方法。 函数概念的萌芽，可以追溯到古代对图形轨迹的研究，随着社会的发展，人们开始逐渐发现，在所有已经建立起来的数的运算中，某些量之间存在着一种规律：一个或几个量的变化，会引起另一个量的变化，这种从数学本身的运算中反映出来的量与量之间的相互依赖关系，就是函数概念的萌芽。 在代数学的方程理论中，对不定方程的求解，使得人们对函数概念逐步由模糊趋向清晰。 恩格斯指出： “ 数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学 ”。 笛卡儿在1637年出版的 《 几何学 》 中，第一次涉及到变量，他称为 “ 未知和未定的量 ” ，同时也引入了函数的思想。 英国数学家格雷果里在1667年给出的函数的定义，被认为是函数解析定义的开始。 他在 “ 论圆和双曲线的求积 ”中指出：从一些其他量经过一系列代数运算或任何其他可以想象的运算而得到的一个量。 这里的运算指的是五种代数运算以及求极限运算，但这一定义未能引起人们的重视。 一般公认最早给出函数定义的是德国数学家莱布尼兹，他在 1673年的一篇手稿中 ,把任何一个随着曲线上的点变动而变动的几何量，如切线、法线、点的纵坐标都称为函数；并且强调这条曲线是由一个方程式给出的。 函数概念被提出后，由于微积分学的发展 ,函数概念也不断进行扩张，日趋深化。 致使函数概念日趋精确化、科学化。 函数概念在发展过程中，大致经过了六个阶段的扩张。 一、函数的定义 :,f D M}),({)( DxxfyyDf 称为 f 的值域。 D 称为 f 的定义域。 定义 1 D与 M是 R中非空数集 ,若有对 应法则 f , 使 D内每一个数 x , 都有惟一的一个数 yM 与它相 对应 ,则称 f 是定义 在 D上的函数 ,记作 },)(),({ DxxfyyxG  称为 f 的图象 . 注 1 函数由定义域 D 和对应法则 f 二要素 完全 决定，因此若给出函数的定 义域和对应法则 , 也 就确定了函数 . 它与自变量与因变量的符号无关 . 注 2 表示函数有多种方法，常见的有解析法、列 表法和图象法 .解析法表示函数时 ,若没有特别指 明其定义域 ,则一般约定其定义域为使该解析式 有意义的自变量的全体 (即存在域 ). 以函数为桥梁，实现函数与方程、不等式间的转化。 方程与函数相比，前者是静止，后者是运动。 方程的根可视为对应函数在某种特定状态下的值。 当研究方程问题时，特别是证明方程根的存在性与个数时，我们可以从函数的观点出发，化静为动，这样往往可以化难为易、化繁为简。 我们在证明不等式时，可以将不等式问题化为函数问题，为解决问题带来方便。 以函数为背景，实现函数思想在数列中的应用。 数列和函数相比，前者离散，后者连续。 从函数的观点出发，将数列问题转化为相应的函数问题，是求数列问题的一种有效方法。 函数的相等与不等 ).()(,)(。 )(xgxfXxiiXigf均有对它们有相同的定义域相等和函数).()(.,xgxftsXxXgf一个但至少存在相同或者虽然定义域或者它们的定义域不同不等和函数.c oss i n1.s i ns i n:22相等和不相等和例xxxyxyxxxyxy000,1,0,1s g nxxxx例 1 符号函数 O11xy。