数学分析之数列极限(编辑修改稿)

数学分析之数列极限(编辑修改稿)内容摘要：

穷 小 数 列 当 时 ,如           {}2 . 1 }{nna a a a数 列 收 敛 于 的 充 要 条 件 是 :定 理 以下定理显然成立 ,请自证 . 五、无穷小数列和无穷大数列 是 无 穷 小 数 列 .是 无 穷 小 数 列 .,大 数 列 记 作lim .nn a ,穷 大 数 列 负 无 穷 大 数 列或 分 别 记 作l i m l i m .nnnnaa      或3定 义 { } 0 ,naG设 是 一 数 列 , 若 对 任 意 总 存 在 正, , , { }nnN n N a G a整 数 使 无则 称 穷得 任 意 是, , { }n n n na G a G a G a若 改 为 或 则 称 正 无是   六、一些例子 为了更好地理解 定义 , 再举一些例题 . ”“ N例 5 证明 发散 . })1({ n又因 a 是任意的 , 所以 发散 . a 为极限 . }{ na证 对于任意实数 a, 取 ,210  :})1({}{ 满足nna 之外有无限多 )21,21(,)0(0  aaaa 在时当所以由定义 139。 , 不以 }{ na个偶数项（奇数项） . .0!lim  na nn例 6 证明 解 ,0,1||   时a  | | 1|| ,| | !aaNa取 当 Nn  时，       | | | || | | | | | | |0! 1 2 | | | | 1a n ana a a a an a a n  ||| | | |.| | !aaaan  从而 .0!l im  na nn1 0 | | 1 [ ] ,aN  当 时 ， 取,1!  nnan没有定义 . 2) 任给正数 , 限制 由  .1,)a r c s i n(s i n1s i n01s i n   nn可知只需取 注： 这里假定 0  1 是必要的 , 否则 arcsin  便 证 例 7 证明 .01s i nlim  nn 1) 任给正数 , 1 , N n N取 当 时，.101sin  nn1[ ] .a r c sinN 例 8 .lim),( CxCCx nnn  证明为常数设证 Cxn  CC  ,成立,0任给所以 , 0,n对于一切自然数.l i m Cx nn 说明 :常数列的极限等于同一常数 . 小结 : 用定义证数列极限存在时 ,关键是任意给定 寻找 N,但不必要求最小的 N. ,0作业 习题 4 一、惟一性 167。 2 收敛数列的性质 七、一些例子 六、极限的四则运算 五、迫敛性 四、保不等式性 三、保号性 二、有界性 一、惟一性 定理 若 }{ na 收敛 , 则它只有一个极限 . 证 设 .}{ 的一个极限是 naa 下面证明对于任何 定数 .}{, 的极限不能是 nabab 若 a， b 都是 { an } 的极限，则对于任何正数  0, 有时，当 22 , NnN 有时，当 11 , NnN )1(。 ||  aa n.ba 是任意的，所以因为 当 n N 时 (1), (2)同时成立 , },m ax{ 21 NNN 令从而有 )2(.||  ba n.2||||||  baaaba nn二、有界性 即存在 0 , | | , 1 , 2 , .nM a M n  使 得证 l i m ,nn aa 设对于正数 1 , ,N n N    时 , 有| | 1 ,naa 1 1 .na a a   即若令 12m a x { | | , | | , , | | , | 1 | , | 1 | } ,nM a a a a a  则对一切 正整数 n , 都有 | | .naM定理 若数列 ，为有界数列则收敛 }{,}{ nn aa注 数列 })1{( n 是有界的 , 但却不收敛 . 这就说明 有界只是数列收敛的必要条件，而不是充分条件 . 三、保号性 定理 l i m ,nn aa 设对于任意两个实数 b, c , 证 m in { , } 0 , , ,a b c a N n N      取 当 时注 ),0(0  aa 或若 我们可取 ( ) ,22aabc或0 ( 0 ) .22nnaaaa   则 或这也是为什么称该定理为保号性定理的原因 . .nb a c故 ,nb a a a c      , 则存在 N, 当 n N 时 , .cab n b a c四、保不等式性 定理 { } , { }nnab设 均为收敛数列 , 如果存在正 00, , ,nnN n N a b数 当 时 有li m li m .nnnnab   则证 l i m , l i m .nnnna a b b   设, 2abba  若 取,22 babaaa n  ,22 bababb n ,nnab故 导 致 矛 盾 .所以 .ab0, , ,N N n N由 保 号 性 定 理 存 在 当 时是严格不等式 . 注 若将定理 中的条件 改为 ,nnabnn ba 这就是说 , 即使条件是严格不等式 , 结论却不一定 也只能得到 l i m l i m .nnnnab   例如 , 虽然 1 2 , n n 但 1 2l i m l i m 0 .nn nn   五、迫敛性 (夹逼原理 ) 定理 设数列 }{},{ nn ba 都以 a 为极限 , }{ nc数列.l i m}{ acc nnn 且收敛，证 对任意正数 n nnnaba ,limlim, 因为 所以分 , 121 时使得当别存在 NnNN 。 naa  2 .nn N b a   当 时, ,}m ax{ 2,1,0 NNNN 取.  abcaaNn nnn时，当 这就证得 满足 : 存在 , 00 nnn bcaNnN  有时当 则 例 1 求数列 }{ n n 的极限 .   ,22 )1()1( 2  nhnnhn nnn,1121l i m1l i m   nnn所以由迫敛性，求得 .1l i m nn n.lim ac nn .12111  nhn nn故 又因 解 1 0 ,nnhn  设则有 六、四则运算法则 定理 为收敛数列，与若 }{}{ nn ba },{ nn ba 则 (1)  li m li m li m。 n n n nn n na b a b       (2)   ,l i ml i ml i m nnnnnnn baba  当 nb 为常数 c 时 ,。 limlim nnnn bcbc  (3) ,0lim,0  nnn bb若也收敛，且则nnba.limlimlim nnnnnnnbaba也都是收敛数列 , 且有 }{,}{ nnnn baba ,nN当 时 | | , | | ,nna a b b   有 所以   ,2||||||  bbaababa nnnn由 的任意性 , 得到   .limlimlim nnnnnnn bababa  证明 (2) ,}{ 收敛因 nb ,}{ 有界故 nb .|| Mb n 设对于任意 0 , ,nN 当 时 有| | , | |1 | | 1nna a b bMa    ，证明 (1) l i m , l i m ,nnnna a b b   设 0 , ,N 存 在,2||||||||  bbaaab nnn由 的任意性 , 证得 .limlimlim nnnnnnn bababa  证明 (3) ,1nnnnbaba 因为 由 (2), 只要证明 .l i m11l i mnnnn bb ,0b由于 据保号性 , , 11 时当 NnN |||| abababbaabba nnnnnn 于是 ||| | .2nbb 又因为 22l i m , , ,nn b b N n N   当 时时，当取 NnNNN  },m ax{ 2121 1 2nnnnbb bbb b b b b     ，即 11l i m .nnbbliml i m .limnnnn nnnaabb所 以,22bbb。