矩阵指数函数的性质与计算毕业论文(编辑修改稿)

矩阵指数函数的性质与计算毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

Aee 实际上， A 和 A 是可交换的，所以在（ ）中，令 BA ，本文推得 ( ( )) 0A A A Ae e e e E    ， 因此，可以推得 1( ) ( )AAee . 如果 T 是非奇异矩阵，则 1 1()T AT Ae T e T  . () 事实上  1 1()111111!!!()kT ATkkkkkAT ATeEkT A TEkAE T TkT e T  这就是本文所需要证明的。 天津科技大学 20xx 届 本科生 毕业论文 10 常系数线性微分方程基解矩阵 在之前的两个小节中，本文已经证明了（ ）的收敛性同时也介绍了矩阵指数相关性质。 在本节，会阐明矩阵指数函数与常系数线性微分方程的基解矩阵的关系（即定理 ），并对此关系进行证明。 定理 矩阵 () Atte （ ） 是（ ）的基解矩阵。 且 (0) E. 证明 有定义易知 (0) E.（ ）对 t 求导，我们得到 2 3 2 139。 ( ) ( ) 39。 1 ! 2 ! ( 1 ) !()AtkkAtteA t A t A tAkAeAt         这就表明， ()t 是（ ）的解矩阵。 又有 det (0) det 1E  。 因 此 (1) 是（ ）的基解矩阵。 证毕。 根据定理 ，我们能够使用此基解矩阵得知（ ）的解 ()t 全拥有以下形式 ( ) ( )Att e c  （ ） 这里 c 是一个常数向量。 由此，求解（ ）基解矩阵的问题便可以转化为对矩阵指数函数的求解。 矩阵指数函数的性质 在上 一章矩阵指数中我们从求解常系数线性微分方程组的过程中认识到了矩阵指数的概念，并且了解到了（ ）就是就是常系数微分方程组的基解矩阵。 在本章开始我们将简单的介绍矩阵函数的性质，再对矩阵指数函数的性质进行描述与证明 . 矩阵函数 定理 假设 ()p 和 ()q 是两个互相不一样的多项式，在这里 A 是一个 n 阶矩阵，那么 ( ) ( )p A q A 他的充要条件就是在 A 的影谱上 ()p 和 ()q 的值对应相等，即 天津科技大学 20xx 届 本科生 毕业论文 11 ( ) ( )( ) ( ) , ( 1 , 2 , ..., 1 )kki i ip q i d   通过利用矩阵多项式，以下将写出矩阵函数的定义． 定义 设在 n 阶矩阵 A 的影谱上函数 ()fx有定义 ，即 () ( ) , ( 1 , 2 , . . . ,。 0 , 1 , 2 , . . . , 1 )k iif i s k d    它的值是确定值．如果 ()p 是一个多项式，同时符合 ( ) ( )( ) ( ) , ( 1 , 2 , . . . ,。 0 , 1 , 2 , . . . , 1 )kki i if p i s k d    那么矩阵函数 ()fA可以定义作 ( ) ( )f A p A。 定理 设 nnAC ，在这里矩阵 A 的谱 ()fx半径为  ，如果函数 ()fx的幂级数的表示式是 0()kkkf x c x x ， 则当  时 0()kkkf A c A 根据定理 可以推出很多关于矩阵函数的幂级数表示式，列举其中 3 个 2112 ! !Ane E A A An      ； 3 5 2 11 1 1sin ( 1 )3! 5 ! ( 2 1 ) !nnA A A A An        。 2 4 21 1 1c os ( 1 )2 ! 4 ! ( 2 ) !nnA E A A An       。 矩阵指数函数的性质 若把矩阵指数函数 Ate 中 A 换为 11 矩阵，会发现，此时矩阵指数函数便变成了指数函数，作为基本函数之一的指数函数，同时也作为特殊的矩阵指数函数，指数函数的性质在矩阵指数函数中是否可以应用，接下来，本文将会以此对矩阵指数函数的性质一一列举出来，并进行论证。 定理 设 , nnA B C  ， ()ef  是复值函数，并且在 ()A 有定义， 那么矩阵指数函数 Ate ，拥有下面 7 条性质： 天津科技大学 20xx 届 本科生 毕业论文 12 （ 1） () ,A A Ae e e C       （ 2） c o s s in , ( 1 )iAe A i A i    （ 3）如果 A 和 B 可交换，也就是说当 AB BA 时，有 A B B A A Be e e e e ； （ 4）对于任何矩阵 A ， Ae 总是可逆的，同时 1()AAee ； （ 5） ()At At Atd e Ae e Adt ； （ 6） det( )At trAee ，其中 11 22 nntr A a a a   是 A 的迹。 （ 7）设定 B 是 Hermite 正定矩阵，那么有唯一 Hermite 矩阵 Q ，使 QBe。 证明 (1) 由定理 知 ()000()!1 ( ) ( )!kkAkk m m K mkkmAekC A Ak    若命 1km，则 ()001( ) ( ) (1 ) !A m m llmmle C A A m    但由于 ()!!mlm lmC lm ，于是有 ()00( ) ( )( ) ( )!!mlA A AmlAAe e eml    反之亦然． （ 2）由定理 知 02 3 42 4 3 5!1 1 12 ! 3 ! 4 !1 1 1 1( ) ( )2 ! 4 ! 3 ! 5 !c o s s inkkiAkAiekE iA A iA AE A A i A A AA i A                （ 3）在满足 ()AB BA 的情况下，二项式公式 天津科技大学 20xx 届 本科生 毕业论文 13 0()kk m k m mkmA B C A B  成立，因此 0001 ()!1 ()!A B kmkm k m mkmme A BkC A Bk 在证明 (1)过程中的式子可以整理为 00!!mImIABmI或00!!mImIBAmI 故 A B B A A Be e e e e 。 （ 4）矩阵指数函数满足 0eE ，根据 (1)得 ()A A A Ae e e E   故 1()AAee （ 5） 矩阵指数函数的幂级数表示式对于给定矩阵 A 和对所有 t 都是绝对收敛的，同时满足对所有的 t 都是一致收敛，因此 01100()!( 1) !!!kkAtkkkkIIIIIIAtAtd d A tedt dt kkA tkAtAIAtAIAeeA   （ 6）设 1112( , , , )rA P J P P d ia g J J J P  ，在这里 J 为 A 的 Jordan 标 准型，则 12 1( , , , )iJJJAe P diag e e e P  ， 天津科技大学 20xx 届 本科生 毕业论文 14 1112 ! ( 1 ) !i i i iiiiiiiiJdde e e edeeeee    ， 所以 12121 1 2 21 1 2 21d e t d e t d e t( ( , , , ) ) d e t( )d e t d e t d e tirrrrJJJAJJ Jrd d dd d dtr Ae P d ia g e e e Pe e ee e eee          （ 7） 因 B 是正定的 Hermite 阵，其特征值均为正数。 因此令 ( ) lnf  ，那么 ()f 在 ()B 上有定义， 又设 ()ge  ， ()g 为整函数， ()B ， ()( ( )) fg f e  ， ()fBBe ， 又 ()( ( )) fg f e   也是整函数，若 ()B ， ()( ( )) fg f e  ， 从而 ()fBBe . 同时 ( ) ( ( ))TTf B f B ．如果将 HBB 表示为矩阵 B 的共轭转置， 即知 HBB ，且 ( ( )) ( )Hf B f B ． 令 ()Q f B ， Q 唯一，并有 QBe 假使 ()nA M C 是正规矩阵， ()HA A Hee ，可以推导得 ()HA A Hee （ ） 另一方面，若 nnAC 符合式（ ），那么 Ae 是正规矩阵，即 定理 设 nnAC ， Ae 是正规矩阵的充分必要的条件为 ()HA A Hee 成立。 接下来研究的问题 是：如果一个非正规的 矩阵 A 符合式 ()的条件，那么这个天津科技大学 20xx 届 本科生 毕业论文 15 矩阵 A 拥有什么样的结构呢 ?为了研究此问题，需要提前证明一个引理 引理 1 设 nnAC ， ()fz为一个复值函数，定义域 fDC ．矩阵方程 ()f X A能够求解的充分必要的条件为：对任何 ()aA ，总存在 fzD ，使得 ()f z a。 证明 必要性． 设存在 ()nX M C ，有 ()f X A ． 记的 Jordan 标准形是 1 , d et 0XX PJ P P 式中：  1212( ) , ( ) , . . . , ( )rX n n n rJ d ia g J z J z J z in 是 Jordan 块的阶数， 1 ir ，由 引理 可知   12112( ) ( ) ,( ( ) , .. ., ( ) )rnn n rA f x P diag J zf J z J z P  ， 从而有 ( ) ( ) , 1, 2 , ... ,kf z A k r， 即存在 ()aA ，有 ()f z a 充分性． 设对 任何 ()aA ，方程 ()f z a 有解存在． 令 A 的 Jordan 标准形是  11 1 1 1 1 1( ) , ( ) , . . . , ( ) , . . . , ( )rA t r r r t rJ d ia g J a J a J a J a 于是存在可逆矩阵 ()AP M C ，使 ()f z a ,于是作   112, , ...,X X r xJ P d ia g X X X P  式中： ( ) , 1 , 2 , ... ,。 1 , 2 , ... ,k k t kX M C k r i t    1( ) ( ) , . . . , ( ) , 1kk k k k t kf X d ia g J a J a k r   从而有   112( ) ( ) , ( ) . . . , ( )X x r xf J P d ia g f X f X f X P  ()AXJ f J 天津科技大学。