几何画板与动态型中考题的整合研究毕业论文(编辑修改稿)

几何画板与动态型中考题的整合研究毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

将直角梯形 ABCD 向左翻折 180176。 ，翻折一次得到图形①，翻折二次得图形②，如此翻折下去。 （ 1）将直角梯形 ABCD 向左翻折二次，如果此时等边三角形的边长 a≥ 2cm，这时两图形重叠部分的面积是多少。 （ 2）将直角梯形 ABCD 向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形 ABCD 的面积，这时等边三角形的边长 a至少应为多 少。 （ 3）将直角梯形 ABCD 向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形面积的一半，这时等边三角形的边长应为多少。 动态体现 请打开几何画板文件名“翻折 2”。 IP图 12①②MADC BN 几何画板与动态型中考题的整合研究 13 探究过程展现 该题的 主要 变量是：等边三角形 MNP 的大小， 主要 不变量是：直角梯形 ABCD 的大小。 对于第一问： 将直角梯形 ABCD 向左翻折二次，如果此时等边三角形的边长 a≥ 2cm，这时两图形重叠部分的面积是多少。 （ 1） 如 图 ，图。 在 GH 直线上 .移动点 H或选中 H点按“左右键”，即 可改变等边三角形 PMN 的边长， 因为 GH 的长度就是 等边三角形 PMN 的边长大小。 同时可观察到 当 a2cm 时， 重叠部分的面积不会改变。 从而为学生解题提供结论性的帮助。 图 图 几何画板与动态型中考题的整合研究 14 （ 2） 如 图 与 图。 可以发现当 a=2 时，三角形的边 PM 与梯形的斜边重合。 因此 a=2 是一个临界点，当 a2 时，重叠面积小于等边三角形的面积。 因此题目要求 a≥2cm 就是这个原因。 图 图 对于第二问 :将直角梯形 ABCD 向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形 ABCD 的面积，这时等边三角形的边长 a 至少应为多少。 （ 3） 移动点 H， 或选中点 H按“左右键”，以 改变等边三角形的大小，观察重叠部分的变化。 或者移动“目标 点 ”按钮，会观察到临界点，此时读取 a的值为 10cm。 如 图 ， 图， 图。 几何画板与动态型中考题的整合研究 15 图 图 几何画板与动态型中考题的整合研究 16 图 对于第三问： 将直角梯形 ABCD 向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形面积的一半，这时等边三角形的边长应为多少。 （ 4） 移动点 H， 或选中点 H按“左右键”。 可改变等边三角形的大小，直到重叠部分面积=梯形面积的一半，读取 a 的值。 容易发现当 a= 时，重叠部分面积 =梯形面积的一半。 如图。 当 a 时，重叠部分面积 梯形面积的一半。 如 图。 当 a 时，重叠部分面积 梯形面积的一半。 如 图。 图 几何画板与动态型中考题的整合研究 17 图 图 关键制作步骤 （ 1） 建立平面直角坐标系，以 C为原点，按题目要求画出直角梯形。 如 图。 几何画板与动态型中考题的整合研究 18 图 （ 2） 双击 y 轴，是 y 轴成为对称轴。 作直角梯形 ABCD 的反射图形 A’ B’ CD’。 如 图。 图 （ 3） 制作翻折效果。 在 y轴上找一点 M， CM CM与 CB 的坐标距离。 以 C为中心，CB 为长轴、 CM 为短轴构造椭圆。 先写出椭圆的解析式， 222( ) (1 )xf x C M CB  .如图。 几何画板与动态型中考题的整合研究 19 图 （ 4） 在椭 圆上找一点 H，连接 CH。 过点 H作 HO 垂直于 CB 且 HO 等于 AB，且过点 O作 CH的平行线，且使 OP=AD。 连接 CP。 如图。 图 （ 5） 隐藏椭圆，制作动画按钮。 先制作隐藏直角梯形 A’ B’ CD’ 按钮 ，再制作“ H→ B’ ”的按钮，然后制作显示直角梯形 A’ B’ CD’ 按钮，最后先后选中它们，制作顺序 3 个动作。 几何画板与动态型中考题的整合研究 20 图 （ 6） 将刚才的“顺序 3个动作”更名为“翻折 1”。 同样方法 制作“返回 1”按钮。 如图。 . 图 （ 7） 用同样地方法， 构造 第二个 椭圆。 此时的椭圆的位置比之前的椭圆对比，应该向左移动 5个单位。 因此函数解析式为 222( 5 )( ) (1 )xf x CM CB  g。 接着 制造会动的梯形。 如图。 几何画板与动态型中考题的整合研究 21 图 （ 8） 按上述方法 制作“翻折 2”与“返回 2”按钮。 完成翻折效果图。 如 图。 图 （ 9） 对于第一问 ： 将直角梯形 ABCD 向左翻折二次，如果此时等边三角形的边长 a≥ 2cm，这时两图形重叠部分的面积是多少。 构造线段 GH,H 点可在直线上运动从而改变 GH 的长度。 使 a=GH 的长度，构造等边三角形。 如 图。 几何画板与动态型中考题的整合研究 22 图 （ 10） 构造三角形 IC’ N的内部，度量出它的面积。 完成第一问。 如图。 图 （ 11） 对于第二问。 构造出梯形 ABCD 第三次翻折得到的图。 如图。 图 （ 12） 移动点 H，发现当 GH≥ 10cm 时，等边三角形包围了梯形。 如图 图 ， 图。 因此在直线 GH 上再找一个点 M，移动 M，使 GM=10cm。 制造“ H→ M”的按钮，更名为“目标”。 隐藏点 M。 完成第二问。 如图。 几何画板与动态型中考题的整合研究 23 图 图 图 （ 13） 度量出直角梯形 ABCD 的面积的一半。 再度量出翻折 3 次后的梯形与等边三角形的面积。 完成。 如图。 几何画板与动态型中考题的整合研究 24 图 满分解答 解： （ 1） 图 如图。 因为 CB=5， 39。 CC=10， CN=8 所以 39。 CN=2 又因为∠ DCB=60176。 且∠ 39。 ICN =60176。 所以△ 39。 ICN 为正三角形 . 所以△ 39。 ICN 的高为 h= 3 所以39。 ICNSV=12 2 3 = 3 （ 2） 几何画板与动态型中考题的整合研究 25 图 在直角梯形 ABCD 中 因为 CD=6，∠ DCB=60176。 所以 AB=3 3 cm 当直角梯形在第三次翻折后，刚好跟等边三角形的 PM 边有一个交点时能满足 重叠部分的面积等于直角梯形 ABCD 的面积 ，设这个交点为 K，如图。 在 Rt△ KMB 中， tan30176。 = MBKB MB =3 3 33 =3 所以 MN= MB + 39。 BC+ 39。 CN=3+5+2=10 cm （ 3）ABCDS梯 形=12 （ 2+5） 3 3 =2132 当 M与 B 重合 时，交 39。 39。 DC于 V .如图。 图 几何画板与动态型中考题的整合研究 26 则MVC39。 SV= 1 5 3 25 35=2 2 4＞ 12S梯形 ABCD． 图 所以 MC’ ＜ 5，设 MC’ =x，则有 h39。 = 32 x，如图。 所以 令 S公 共 部 分 =12 xg 32 x=2134 解得 x= 21 因为 39。 CN=2 所以等边三角形 MNP的边长 a为（ 21 +2） cm 一平面图形经过翻折后成为空间图形 ,由于位置关系变了 ,有些元素在位置关系的变化中发生了变化 ,有些 元素的数量关系并不改变。 翻折类题型的解法 的关键是 要抓 住 这些变动着的量和保持不变的量之间的关系 ，搞清楚变化的量在翻折过程中的空间关系的位置变化。 利用几何画板进行翻折类题型的动态展示，更清晰地看清平面图形翻折过程中的动态变化。 变化的量在变化的过程中 通过几何画板 有一个很直观的 动态 展示 ，能更好地理解题目。 3 旋转类问题 旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度成为与原来相等的图形，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，图形转动的角叫做旋转角。 旋转特征：图形旋转时，图形中的每一点旋转的角都相等，都等于图形的旋转角。 这是图形变换最基本 的一种，我选取了比较有代表性的 2020 年山东德州中考第 23 题为例子，详解如下： 几何画板与动态型中考题的整合研究 27 例 3（ 2020 年山东德州） 已知正方形 ABCD 中， E 为 对角线 BD 上一点，过 E 点作 EF⊥ BD 交 BC 于 F，连接 DF， G 为DF 中点，连接 EG， CG． （ 1） 求证： EG=CG； （ 2）将图①中 △ BEF绕 B点逆时针旋转 45186。 ，如图 ②所示 ，取 DF 中点 G，连接 EG， CG．问（ 1）中的结论是否仍然成立。 若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 ． （ 3）将图①中 △ BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问 （ 1）中的结论是否仍然成立。 通过观察你还能得出什么结论。 （均不要求证明） 动态体现 请打开几何画板文件名“旋转 1”。 探究过程展现 该题的 主要 变量是：△ BEF 的大小， 主要 不变量是：线段 EG 与线段 GC的位置。 （ 1） 对于第 一 问： 求证： EG=CG； 点击“动点 E” 按钮 ，可改变线段 BE 的长度，从 而改变△ BEF 的大小。 如图 图。 在这个过程中， EG与 GC的长度虽然随时改变，但能清晰地观察到 EG 与 GC的长度始终相等。 从课件中让学生初步感知到“变”与 “不变”。 F B A D C E G 第 23 题图 ① F B A D C E G 第 23 题图 ② F B A C E 第 23 题图 ③ 几何画板与动态型中考题的整合研究 28 图 图 （ 2）对于第二 问： 将图①中 △ BEF绕 B 点逆时针旋转 45186。 ，如图 ②所示 ，取 DF 中点 G，连接 EG， CG．问（ 1）中的结论是否仍然成立。 若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 ． 点击“逆时针旋转”按钮，即能让学生看到△ BEF 整个旋转过程。 如 图 图。 学生能全程看到线段 EG 和线段 GC 的长度始终不变，从而进一步思考原因。 观察后按“三角形返回”按钮，使三角形恢复旋转前位置。 几何画板与动态型中考题的整合研究 29 图 图 （ 3） 除此之外，可点击“ E点运动”按钮，随意改变线段 BE的长度再行观察。 如图。 图 （ 3）对于 第 三 问： 将图①中 △ BEF 绕 B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（ 1）中的结论是否仍然成立。 通过观察你还能得出什么结论。 如图。 点击 “任意角度旋转点 E” 按钮，即可对△ BEF 进行任意角度旋转，此时可随时观察到 EG 与 GC 各自的长 度虽然改变，但始终相等。 点击“三角形返回”即可恢复旋转前的位置。 图 图 几何画板与动态型中考题的整合研究 30 图 （ 4） 跟前两问一样，点击“动点 E”按钮，可随意改变线段 BE 的长度，进而改变 △ BEF 的大小，进行再次观察。 （ 5） 当然，可以将三个小问整合在同一个图中展现出来。 如图。 图 课件制作步骤要点 （ 1） 画出正方形 ABCD，与对角线 BD，作 BD 的中点 I，构。