基于小波理论的电能质量分析毕业论文(编辑修改稿)

基于小波理论的电能质量分析毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

信号 Y[n]。 图 4 双通道正交镜像滤波器组 9 连续小波变换 对于任意平方可积函数 2( ) ( )f t L R ，其连续小波变换定义 [25]为： ,1( , ) ( ) ( )abW T a b f x x d xC    23 其中， ()x 称为母小波， , ()abx 为 ()x 的伸缩平移系 , ()abx 的共扼函数， , ()abx称为分析小波，是按 , 1{ ( ) ( ) | , , 0 }||ab xbx a b R aaa    24 进行伸缩平移得到的。 其中 a 为尺度因子， b 为时间因子。 ()x 必须满足下面的条件，称为允许条件 [25]： 2| ( ) |2||Cd    25 () 是 ()x 的傅氏变换。 由此可见，只有满足允许性条件的函数才可以作为连续小波。 由允许条件可知 ()x 在频域满足 (0) 0，即 ()x 在频域是带通的 ； 在时域，一般要求 ()x 满足正则性条件 ( ) 0 , 1, ,p x dx p K n 26 而且， n越大越好，因此 ()x 在时域也具有局域化的特点。 小波变换还必须满足重建核方程 [25]，即： 0 0 0 00( , ) ( , ) ( , , , )daW T a b W T a b K a b a b d ba      27 其中 000 0 , ,1( , , , ) ( ) ( )a b a bK a b a b x x d xC   28 K 称为重建核，它反映了 00, ()abx 与 , ()abx 的关联程度。 重建核方程说明： (1)不是 ab 平面内的任意 ( , )WTab 都可以作为小波变换，它必须满足重建核方程； (2)连续小波变换是有冗余的，即 ab 平面内任意一点总与该平面上其他点相关联。 正因为连续小波变换是冗余的，才可以在对 a 和 b 进行离散化时，得到 10 信息不丢失的变换结果，也才能实现二进小波变换及其反变换。 从连续小波变换的定义可以看出，当尺度 a 较小时， , ()abx 在时间域内收缩，在频域内伸展，此时信号在较密集的一组基下展开，因此小尺度下的连续小波变换可以用来分析信号的细节特征；反之，当尺度 a较大时， , ()abx 在时间域内伸展，在频域内收缩，此时信号在较稀疏的一组基下展开，因此大尺度下的连续小波变换 可以用来分析信号的概貌。 形象地讲，小波变换具有变焦作用，是“数学显微镜”。 母小波 ()x在进行伸缩与平移变换时，始终保持中心频率与带宽的比值 Q 为恒定值，即具有常数 Q 的特性。 小波变换的反变换问题也就是函数 f (x)的重构问题。 只有当函数 ()x 满足允许性条件时， ()x 才构成小波母函数，相应的小波变换才能反演。 连续小波反变换的定义为 [25]： ,201( ) ( , ) ( )abdaf x W T a b x d baC       29 离散小波变换 由于现代计算机技术的不断发展，尽管信号分析的理论工作并不完全依赖于计算机来完成，但将信号分析理论应用实际上时，却离不开计算机的参与。 计算机只能处理离散信号，因此，小波变换除了具有完美的连续变换形式外，还必须具有离散形式，从而使之借助于计算机方便、 快捷地应用于实际系统的信号分析。 在连续小波变换中考虑的是函数族 1 / 2, ( ) | | ( )ab xbxa a  210 其中 , 0 ,a R a b R  且 ， ()x 满足允许条件。 为方便起见，离散化过程中限定 a为正实数，故允许条件变为 [25]： 0220| ( ) | | ( ) |22 ||C d d        211选择 0maa ，其中 mZ 且 0 1a ，通常为了方便选择。 选择 manbb 00 ，其中Zm ,b0 0 可以保证离散化了的小波可以覆盖整个轴线。 由此可得离散化形式的小波 [25]： 11 )()( 002/0, nbxaax mmnm    212而且如果 , ()mnx 构成了一个框架，即对于全部 2()f L R ， 222,|| || | , ( ) | || ||mnmnA f f x B f    213 其中， A0, B。 则从 ,( , ( ) )m n m n Zfx 来重构 f是可能的。 在连续小波离散化过程中，对于一些专门选择的适当的 0 0 , , ( )mna b x和 能构成 L2 (R)空间中的正交基，特别是当选择 a0 = 2,b0 = 1 时，存在具有非常好的时频局域性质的ψ，使得 /2, ( ) 2 (2 )mmmn x x n构成 L2 (R)的正交基。 到目前为止，已有多种 正交基被构造出来，这些正交基在时间和频率上都具有非常好的局域化性质。 多分辨分析 及其与滤波器组的关系 1988 年 在构造正交小波基时提出了多分辨分析的概念，从空间的概念上形象地说明了小波的多分辨率特性，将此之前的所有正交小波基的构造法统一起来，给出了正交小波的构造方法以及正交小波的快速算法，即 Mallat 算法。 多分辨分析的基本思想是先在 2()LR的某个子空间中建立基底，然后利用简单的伸缩和平移变换，把子空间的基底扩充到 2()LR中。 设 {}j j ZV  是空间 2()LR的一个闭子空间列， {}j j ZV  被称为 2()LR的一个多分辨分析，如果 {}j j ZV  满足下面四个条件 1. 一致单调性 1,jjV V j Z 2. 渐近完全性 2{ 0 }, ( )jjjZ jZI V U V L R  3. 伸缩规则性 1( ) (2 ) ,jjf t V f t V j Z    4. 正交基存在性 存在 0()tV  ，使得 { ( )}kZtk  是 0V 的标准正交基。 其中 φ称为尺度函数， 0V 为逼近空间。 多分辨分析也称为多尺度分析或多尺度逼近，满足上面条件的多分辨 {}j j ZV  也称为由尺度函数 φ生成的多分辨分析。 如 果平方可积函数空间 2()LR的一系列闭子空间 {}j j ZV  是 2()LR的一个多分辨 12 率分析，若 2( ) ( )t L R  为尺度函数， /2, ( ) 2 (2 )jjjk t t k为 j 尺度空间 jV 的规范正交基，空间 jW 为 jV 在 1jV 中的正交补空间，即 1j j jV V W  ，小波函数/2, ( ) 2 ( 2 )jjjk t t k为小波空间 jW 的规范正交基，则这种子空间可以分解为：1 1 2 2 1J J J J J JV V W V W W L          对任意信号 2( ) ( )xt L R ， 都 可 以 用 多 分 辨 率 分 解 为1 /20 0( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( 2 )J jjjk k jx t c k t k d k t k      214 式中 J—— 分解的层数； 0()ck—— 尺度系数； ()jdk—— 小波系数。 若尺度函数是一组正交基，则 ( ), ( )jjc k d k 可分别表示为 ,( ) ( ), ( )( ) ( ), ( )j j kj j kc k x t td k x t t  215由双尺度方程可知， 11( ) ( 2 ) ( )( ) ( 2 ) ( )jjnnc k h n k c nd k g n k c n   216 式中 ()jck—— 第 j 层的尺度系数； h(k)—— 低通滤波器系数； g(k)—— 高通滤波器系数，且满足 ( ) ( 1) (1 )kg k h k   式 (216)就是著名的 Mallat 分解算法。 初始的尺度系数 ()jck可由信号 x(t)直接采样获得。 如果信号的采样频率大于Nyquist 频 率，那么 ()jck就可以很好的逼近信号 x(t)。 下面考虑相反的过程，即重构过程。 由多分辨率分析的定义可得到 11( ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( )j j jk Z k Zc n h n k c k g n k d k    217式 (217)就是著名的 Mallat 重构算法。 在电气工程术语中，上两式称为精确重构子带编码的分析与合成过程。 在一个双通道子带编码策略中，一个输入序列 0()nZ 与俩个 不同的滤波器作卷积，其中一个是低通的，一 个是高通的。 得到两个序列接 13 着作减采样即保留序列中偶（奇）项。 合成过程中先对俩个输入序列作增采样，再分别通过低通和高通滤波器，相加可得一个原输入序列的新版本。 多分辨分析从细密到稀疏的分解及重构过程可由图 5 描述。 图 5 多分辨分析一步分解与重构的子带滤波方法 本章 小结 本章论述了小波分析的基本理论，对小波分析的深奥的数学理论进行了简明化工程解释，意在为小波分析在电力系统或其它工程领域信号处理中的应用打下基础。 从本章内容可以看出： (1)通过基本数学理论分析，清楚了小波分析是目前时间 频率分析的最佳工具。 小波基具有时频局部化的特征，因此小波分析具有时频分析能力适合于分析非平稳瞬变信号。 (2)离散形式小波变换的存在，使得小波分析可以借助于计算机方便、快捷地应用于实际系统的信号分析。 (3)不同应用场合，应该正确分析选用合适的分析小波，到目前为止，已经在多种构造好了的分析小波供使用，但各个分析小波均有其适用性，变换结果也各不相同，因此，需要根据应用来选择。 (4)正交小波基的存在以及多分辨分析的因人为离散小波变换的快速实现开辟了道路。 (5)应用数学上的小波分析多分辨理论与信号处理中的滤波 器组有着天然的联系。 离散小波变换等价于滤波器组的级联。