上海格致中学高三数学复习题型整理分析：专题5数列与极限word版含解析[数理化网]

上海格致中学高三数学复习题型整理分析：专题5数列与极限word版含解析[数理化网]内容摘要：

比数列的“基本元”是首项、公差（比），当觉得不知如何用性质求解时，可以把问题转化成“基本元”解决 .学会用任意两项关系：若 na{ ｝是等差数列，则对于任意自然数 nm, 有 dmnaa mn )(  ；若 na{ ｝是等比数列，则对于任意的自然数 nm, ，有 mnmn qaa  .在这两关系式中若取 1m ，这就是等差（比）数列的通项公式 . ［举例 1］ 已知数列 }{na 是等差数列，首项 01a ，且 053 75  aa .若此数列的前 n 项和为 nS ，问 nS 是否存在最值。 若存在， n 为何值。 若不存在，说明理由 . 分析： 对于本题来说，等差数列的基本性质用不上，可以化归为首项与公差来解决 .设此数列的公差为 d ，则0)6(5)4(3 11  dada ，即 1214 ad  ，由 01a 知 0d ，所以数列 }{na 是递减数列，故 nS 有最大值而无最小值 .由等差数列的通项公式知：111 21 425)214)(1( ananaa n ，当 6n 时， 0na ，当 7n 时， 0na .所以 6S 最大 .综上知，当 6n 时， nS 最大，不存在最小值 . [举例 2]已知正项等比数列 }{na 中，首项 11a ，且 15735 aa .若此数列的前 n 项积为 nT ，问 nT 是否存在 最值。 说明理由 . 分析： 与举例 1 联系起来，这是数列中的“类比”问题 .其解决的思想方法是一样的 .对于单调正项数列，前 n 项积 nT 最大（小），则应满足 )11(11 11     nnnn aaaa. 设此数列公比为 q ，则 1)()( 461341  qaqa ，则 2141aq . 21 4251121411 )( nnn aaaa   .由 11a 知： 6n 时，7,1  nan 时， 1na .所以当 6n 时， 6T 最大， nT 没有最小值 . [特别注意 ]等差数列与正项等比数列之间存在的类比关系实际上是运算上的变化，这种变化可以由等差数列与等比数列的一个性质来揭示 .我们知道：若数列 }{na 是正项等比数列，记 )1,0(lo g  mmab nmn ，则数列 }{nb 是等差数列 .反之若数列 {}na 是等差数列，记 ( 0)nanb m m，则数列 {}nb 是等比数列 . 41 、已知数列的前 n 项和 nS ，求数列的通项公式时，要注意分段  2,111 nSS nSannn. 当 1a 满足)2(,1   nSSa nnn 时，才能用一个公式表示 . ［举例］ 已知数列 }{na 的前 n 项和 annaS n  2)2( .若 }{a 是等差数列，求 }{na 的通项公式 . 分析： 证明一个数列是等差数列或是等比数列，要从等差、等比数列的 定义出发 .等差、等比数列的性质不能作为证明的理由 . 由 annaS n  2)2( 知， 1n 时， 1211  aSa ，当 2。