人教b版高中数学选修2-2第1章13第3课时导数的实际应用

人教b版高中数学选修2-2第1章13第3课时导数的实际应用内容摘要：

1 0 0 0 v2－ 1 6 0 0 0 v v － 8 2. 令 y ′ ＝ 0 得 v ＝ 16 或 v ＝ 0( 舍去 ) ． 所以函数 v ＝ 16 时取得极值，并且是极小值． 当 v0≥ 16 时， v ＝ 16 使 y 最小． 即全程燃料费最省． 当 v0 1 6 时，可得 y ＝1 0 0 0 v2v － 8在 (8 ， v0] 上递减， 即当 v ＝ v0时， ym in＝1 0 0 0 v20v0－ 8. 综合上述得：若 v0≥ 16 ，当 v ＝ 1 6 k m/ h 时，全程燃料费最省；若 8 v01 6 ，则当 v ＝ v0时，全程燃料费最省． [ 注意 ] 解决费用最省问题，也是导数的一个重要应用．解决这类问题，首先要选取合适的量为自变量，并确定其取值范围，然后将费用表示为自变量的函数，再利用导数求最值，使问题得到解决 ． 统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y ( 升 ) 关于行驶速度 x ( k m / h ) 的函数解析式可以表示为 y ＝11 2 8 0 0 0x3－380x ＋ 8 ( 0 ≤ x ≤ 1 2 0 ) ，已知甲、乙两地相距 1 0 0 k m. ( 1 ) 当汽车以 4 0 k m/ h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升。 ( 2 ) 当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少。 最少为多少升。 [ 解析 ] ( 1 ) 当 x ＝ 4 0 k m / h 时，汽车从甲地到乙地行驶了1 0 040＝ 2 . 5 h ， 要耗油11 2 8 0 0 0 403－380 40 ＋ 8 2 . 5 ＝ 1 7 . 5 ( L ) ． ∴ 当汽车以 4 0 k m / h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油 1 7 . 5 L . ( 2 ) 当速度为 x k m / h 时，汽车从甲地到乙地行驶了1 0 0x h ，设耗油量为 h ( x ) L ，依题意得 h ( x ) ＝11 2 8 0 0 0x3－380x ＋ 8 1 0 0x＝11 2 8 0x2＋8 0 0x－154， h ′ ( x ) ＝x6 4 0－8 0 0x2 ＝x3－ 8036 4 0 x2 (0 ≤ x ≤ 1 2 0 ) ． 令 h ′ ( x ) ＝ 0 ，得 x ＝ 80. 当 x ∈ ( 0 , 8 0 ) 时， h ′ ( x ) 0 ， h ( x ) 是减函数； 当 x ∈ ( 8 0 , 1 2 0 ) 时， h ′ ( x ) 0 ， h ( x ) 是增函数． ∴ 当 x ＝ 80 时， h ( x ) 取得极小值． 此时 h ( x ) ＝11 2 8 0 0 0 803－380 80 ＋ 8 54＝454＝ 1 1 . 2 5 ( L ) ． ∴ 当汽车以 8 0 k m/ h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为 1 1 . 2 5 L . 面积 、 体积最大问题 已知矩形的两个顶点位于 x 轴上，另两个顶点位于抛物线 y ＝ 4 － x2在 x 轴上方的曲线上，求矩形的面积最 大时的边长． [ 分析 ] 如图所示，设出 AD 的长，进而求出 | AB |表示出面积 S ，然后利用导数求最值． [ 解析 ] 设矩形边长 AD ＝ 2 x ， 则 | AB |＝ y ＝ 4 － x2. ∴ 矩形面积为 S ＝ 2 x (4 － x2) ( 0 x 2 ) ，即 S ＝ 8 x － 2 x3.所以S ′ ＝ 8 － 6 x2. 令 S ′ ＝ 0 ，解得 x1＝23， x2＝－23( 舍去 ) ． 当 x 23时， S ′ 0 ；当 x 23时， S ′ 0 . 所以当 x ＝23时， S 取得最大值， 此时， S 最大 ＝32 39， y ＝83. 即矩形的边长分别为4 33，83时，矩形的面积最大． [ 方法总结 ] 本题的关键是利用抛物线方程，求出矩形的另一边长． 某村庄似修建一个无盖的圆柱形蓄水池 (不计厚度 )．设该蓄水池的底面半径为 r米，。