北师大版选修2-2高考数学41定积分的概念

北师大版选修2-2高考数学41定积分的概念内容摘要：

探究三 探究四 点评 求曲边梯形的面积 ,先将梯形分割成若干个细长条 ,每个细长条可以近似地看成一个小矩形 ,那么这些小矩形的面积的和就是曲边梯形的一个近似值 ,分割越细 ,这个近似值就越接近于曲边梯形面积的真实值 . 探究一 探究二 探究三 探究四 􀎥 变式训练 1 􀎥 求抛物线 f ( x ) = 1 +x2与直线 x= 0, x= 1, y= 0 所围成的平面图形的面积 S . 解 :将区间 [ 0 , 1 ] 等分成 n 个小区间 𝑖 1𝑛,𝑖𝑛 ( i= 1 , 2 ,… , n ) 其长度为1𝑛,把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形 ,其面积分别记为 Si( i= 1 , 2 ,… , n ) . 用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积 . Si=f 𝑖 1𝑛 1𝑛= 1 + 𝑖 1𝑛 2 1𝑛( i= 1 , 2 ,… , n ) . Sn= ∑𝑖 = 1𝑛Si= ∑i = 1n1𝑛 1 + 𝑖 1𝑛 2 . 探究一 探究二 探究三 探究四 S= l im𝑛 → + ∞S n = l im𝑛 → + ∞∑𝑖 = 1𝑛1𝑛 1 + 𝑖 1𝑛 2 = 1 + l im𝑛 → + ∞∑𝑖 = 1𝑛 𝑖 1𝑛 21𝑛 = 1 + l im𝑛 → + ∞1𝑛02+ 12+ 22+ … + ( 𝑛 1 )2𝑛 2 = 1 + l im𝑛 → + ∞1𝑛 3𝑛 ( 𝑛 1 )( 2 𝑛 1 )6= 1 +13=43. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究二 定积分的几何意义 定积分与曲边梯形的面积关系密切 .利用定积分的几何意义求定积分必须准确理解其几何意义 ,同时要合理利用函数的奇偶性、对称性来解决问题 .另外 ,结合图形更直观形象地辅助解题 . 典例提升 2 用定积分的几何意义求 : 𝑏𝑎 ( 𝑥 𝑎 )( 𝑏 𝑥 ) d x ( b a ) 的值 . 思路分析 :明确定积分的几何意义 —— 曲边梯形的面积 ,结合曲线特点求解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 解 :令 y= f ( x ) = ( 𝑥 𝑎 )( 𝑏 𝑥 ) ,则有 𝑥 𝑎 + 𝑏2 2+y2= 𝑏 𝑎2 2表示以 𝑎 + 𝑏2, 0 为圆心 ,半径为𝑏 𝑎2的上半圆 ,而这个上半圆的面积为 S=12π r2=π2 𝑏 𝑎2 2=π ( 𝑏 𝑎 )28, 由定积分的几何意义可知 , 𝑏𝑎 ( 𝑥 𝑎 )( 𝑏 𝑥 ) d x=π ( 𝑏 𝑎 )28. 点评 𝑏𝑎f ( x )d x 〔 f ( x ) 0 〕表示曲边梯形的面积 ,求出曲边梯形的面积 ,从而得出定积分的值 . 􀎥 变式训练 2 􀎥 定积分 10( 1 ( 𝑥 1 )2 x )d x 的值为 . 解析 :如图 ,由定积分的几何意义 ,可知该定积分表示半圆( x 1)2+y2= 1( y ≥ 0) 与直线 y= x 所围成。