导数的概念及基本函数的导数

导数的概念及基本函数的导数内容摘要：

x Dx0 + =a+lim b1 Dx Dx0 + 故当 b1=0 且 a=1 即 a=b=1 时 , f(x) 在 x=0 处可导 . 综上所述 , 当 b=1, aR 时 , f(x) 在 x=0 处连续 , 当 a=b=1 时 , f(x) 在 x=0 处可导 . (2)由 (1)知 , f(0)=1, 又 f(0)=1, 故曲线 y=f(x) 在点 P(0, f(0)) 处的切线方程为 y1=x0, 即 xy+1=0. 典型例题 2 若 f(x) 在 R 上可导 , (1)求 f(x) 在 x=a 处的导数与 f(x) 在 x=a 处的导数的关系。 (2)证明 : 若 f(x) 为偶函数 , 则 f(x) 为奇函数 . (1)解 : 设 f(x)=g(x), 则 =f(a). ∴ f(x) 在 x=a 处的导数与 f(x) 在 x=a 处的导数互为相反数 . (2)证 : ∵ f(x) 为偶函数 , ∴ f(x) 为奇函数 . g(a)=lim Dx0 g(a+Dx)g(a) Dx =lim Dx0 f(aDx)f(a) Dx =lim Dx0 f(aDx)f(a) Dx =lim Dx0 f(xDx)f(x) Dx =lim Dx0 f(xDx)f(x) Dx =f(x), Dx0 f(x+Dx)f(x) Dx ∴ f(x)=lim 注 : 本题亦可利用复合函数的求导法则解决 . 典型例题 3 已知曲线 C: y=x33x2+2x, 直线 l: y=kx, 且直线 l 与曲线 C 相切于点 (x0, y0)(x00), 求直线 l 的方程及切点坐标 . 解 : 由已知直线 l 过原点且其斜率 k= , x0 y0 ∵ 点 (x0, y0) 在曲线 C 上 , ∴ y0=x033x02+2x0. ∴ =x023x0+2. x0 y0 又 y=3x26x+2, ∴ 在 点 (x0, y0) 处曲线 C 的切线斜率 k=y|x=x0. ∴ x023x0+2=3x026x0+2. 整理得 2x023x0=0. 解得 x0= (∵ x00). 3 2 这时 y0= , k= . 3 8 1 4 ∴ 直线 l 的方程为 y= x, 1 4 切点坐标是 ( , ). 3 8 3 2 注 有关曲线的切线问题 , 可考虑利用导数的几何意义 . 曲线 C 在某一定点处的切线是唯一的 , 因此斜率也是唯一的 (若存在的话 ), 采用斜率相等这一重要关系 , 往往都可解决这类问题 . 典型例题 4 求曲线 y=2 x2 与 y= x32 的交点处切线的夹角 (用弧度数作答 ). 1 2 1 4 解 : 由 y=2 x2 与 y= x32联立方程组解得交点坐标为 P(2, 0).。