第十章应力状态理论基础

第十章应力状态理论基础内容摘要：

 01 2 0c o s20  M P   00 6030   yx  MPa40在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其 σ的和为一常数。 例题 3060 分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。 低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。 x   x y2  2c o s2yx   2sinx  2c o s22 yx    2s in2yx   2co sx  2s in2 x0452045 x 2045 x  max 低碳钢试样拉伸至屈服时表面沿 450出现滑移线，是由最大切应力引起的。 例题 分析圆轴扭转时最大切应力的作用面，说明铸铁圆试样扭转破坏的主要原因。    x y2  2c o s2yx   2sinx  2s in   2s in2yx   2co sx 2c o s045  m i n045  m a x0450045 minmax 铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着最大拉应力作用面（即 450螺旋面）断开的。 因此，可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起的。 例题 三 平面应力状态分析 — 图解法 第十章 应力状态理论基础 应力圆方程   2222 sincos)( xyxyx   222 c o ss i n xyx   2222 sincos xyxyx (1) (2) 对 (1) (2)式两边平方，将两式相加，并利用 122 22   cossin 消去 和 ，得 2sin 2cos222222 xyxyx   )()((3) R xyyxR 222   )(),( 02 yx  xyR ),(0a 比照解析几何的曲线方程 是一个圆心在 (), 半径为 R的圆， 222 Ryax  )(2222 22 xyxyx    )()(则 是个应力圆的方程 (从力学观点分析） （ 1）若已知一个应力单元体两个互相垂直面上的应力就一定可以作一个圆，圆周上的各点就是该单元体任意斜截面 上的应力。 （ 2）平面应力状态下任意斜截面 上的应力相互制约在圆周上变化。  在 στ坐标系中，标定与微元 A、 D面上 应力对应的点 a和 d 连 ad交 s 轴于 c点， c即为圆心， cd为应 力圆半径。 yyxA D a (x ,x) d (y ,y) c R  x y2 xyx 222   )(x 点面对应 —— 应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和切应力 几种对应关系 yyxxc a A ),( aa 转向对应 — — 半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致； 二倍角对应 —— 半径转过的角度是方向面旋转 角度的两倍。 c a yyxxD n  d x A 2 b(y ,y)  O c a(x ,x) yyB xA xx x A D   o d a c x39。 y y39。 45186。 x 2 45186。 2 45186。 b e B E （ 1）对基本变形的应力分析 单向拉伸 应力圆的应用 单向拉伸 x39。 y39。 B E x x 45o B E 45o 45186。 方向面既有正应力又有切应力，但正应力不是最大值，切应力却最大。 可见： 45o 45o   o   a (0, ) d (0, ) A D b e c 2 45186。 2 45186。 45o＝  B E 纯剪切 45（ 1）对基本变形的应力分析 应力圆的应用 B E   B E 纯剪切 4545o＝   （ 2）平面应力状态下求任意截面上的应力 点面相对应，首先找基准。 转向要相同，夹角两倍整。 yyxxn),(  E),( xx ),( yy E2x x y y   o c 20 a d A D 主平面 ： τ = 0, 与应力圆上和横轴交点对应的面 1A1B应力圆的应用 (3)平面应力状态下主平面、主应力及主方向 x x y y A D 主应力的确定   o c 2αo a d 1A1B 1oA 10 cAc  2 yx   xyyx 22)2(   1oB 10 cBc  2 yx   xyyx 22)2(  应力圆的应用 (3)平面应力状态下主平面、主应力及主方向 主应力排序：   o c 2p a d 12  o 13  o 23应力圆的应用 (3)平面应力状态下主平面、主应力及主方向 xy x y yx A D   o c 2o a d 1 2 1 1 o 2 2 (x ,xy) 主方向的确定 22yxxxytg 负号表示从主应力的正方向 到 x轴的正方向为顺时转向 g 应力圆的应用 (3)平面应力状态下主平面、主应力及主方向 对应应力圆上的最高点的面上切应力最大，称为 “ 面内最大切应力”。 max 应力圆的应用 （ 4）面内最大剪应力   o c 2o a d 1A1B 例题 试用应力圆法计算图示单元体 ef截面上的应力。 图中应力的单位为 MPa。 n030ef 。